無量大数も涙目のグラハム数 第3版
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無量大数も涙目のグラハム数 第3版

2017-08-04 22:54

    ■はじめに

     無量大数は小学生の頃から知っている巨大な数です。ゼロの数が68個もある。その無量大数よりも巨大な数を表す言葉があると知ったのは、実は最近のことでした。グーゴルプレックスと云う数です。まず “ナウい” 名前がいいですね。その巨大さは、無量大数をはるかに凌駕していて申し分ない数でした。ゼロの数が100個もあるグーゴル。そして、ゼロの数がグーゴル個あるグーゴルプレックス。グーゴルプレックスは無量大数に変わる最強の数となったわけです。それから数年して、グーゴルプレックスよりもさらに大きい、『グラハム数』なる数があることを知りました。けれど私は『グラハム数』に興味を持ちませんでした。だってグーゴルプレックスのほうがカッコいいし、その巨大さも申し分ない。例えグーゴルプレックスより大きかろうが、もう50歩100歩の争いには興味はないよ‥ と、思ったのです。しかし、方々で『グラハム数』という文字を見るうちに、少し調べてみたい衝動を私は持ちます。‥最初は理解できませんでした。理解はできませんでしたが「50歩100歩の争い」という認識が、途方もなく誤りであることだけは分かりました。あれから4年‥ 私の探訪は『グラハム数』をはるかにこえて『ふぃっしゅ数バージョン3』まで歩んでいます。それでも『グラハム数』への関心が尽きないのは、わかりやすくバカでかいからですかね。現在、『グラハム数』をテーマとした「みくみく漫才」の制作を進めていることもあり、さらに分かりやすく解説してみようと思います。今回は、コンウェイさんの考えたチェーン表記と、クヌースさんの考えたタワー表記の話を並列して進めます。

     ※ Internet Explorer では背景色の表示が崩れることがあります。Google Chromeでの閲覧を推奨なのです。

     ≪コンウェイさんの考えたチェーン表記≫

     3→3→4  
          
     3→3→5  
          
     3→3→6  

     これは、イギリス人のコンウェイさんが考えた『チェーン表記』を使って表された巨大数です。この表記は、アメリカ人のクヌースさんが考えた『タワー表記』をパワーアップしたものだそうです。なぜそんなことをコンウェイさんはしたのでしょう?

     ≪クヌースさんの考えたタワー表記≫

     3↑↑↑↑3   
             
     3↑↑↑↑↑3  
             
     3↑↑↑↑↑↑3

     タワー表記は、矢印の本数の違いで次元の異なる巨大な数を表現できます。しかし、例えば矢印が100本ある巨大数は表記が困難になるように思えます。

     3↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 
      ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑  
      ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑  
      ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑3 

     3→3→100 

     ほら『チェーン表記』はわかりやすいでしょう。数える必要もないですね。ただ、矢印の本数が4本までならば、それぞれの数字の役割が明瞭で、『タワー表記』の方が便利なように思います。さて、グラハム数を知るうえで不可欠なのが、タワー表記では「3↑↑↑↑3」、チェーン表記では「3→3→4」という巨大数の理解です。ここから4つの章を通してこの巨大数についてまずは勉強してみましょう。


    ■第1章 「3↑3」「3→3→1」 累乗の世界


    ≪計算の手順≫

     3→3→1=

     3↑3 =  
     3^3 =  
     3×3×3 =
     27    

     タワー表記の「↑」、チェーン表記の左から三番目の数である「1」は、掛け算の連続である「累乗」を意味します。例えば、無量大数を説明するときに使う「10の68乗」という表現が「累乗」です。せっかくなので、無量大数を表記してみましょう。

     ≪無量大数≫

     十進数表記  10000000000000000000000000000000000000000  
                     0000000000
    000000000000000000  
                                         
     掛け算    10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
              ×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
              ×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
              ×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
              ×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
              ×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10      
                     ×10×10×10×10×10×10×10      
                                          

     累乗表記   10^68                           
                                          
     タワー表記  10↑68                           
                                          
     チェーン表記 10→68→1                        

     また、「指数関数的に増大」なんて表現もこの「累乗」です。この累乗の強さを実感するためにパソコンのフォルダを考えてみましょう。デスクトップに“巨大数”というフォルダがあるとします。このフォルダには1万個のファイルが入っています。そのファイルをよく調べてみると、実はこれもフォルダであり、そのフォルダにも1万個のファイルが入っている。この段階でファイルの数は1億です。

     ≪1億のイメージ図≫


     では、このようにデスクトップから数えて、例えば64層もあるとどんな数になるでしょうか。

     1層 10000                              10000^1
     2層 100000000                            10000^2
     3層 1000000000000                          10000^3
     4層 10000000000000000                        10000^4
      :                                         
    64層 10000000000000000                           
         0000000000000000                           
         00000000
    00000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         00000000
    00000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         00000000
    00000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                           
         0000000000000000                     10000^64

     たった、という表現が適切かどうかはわかりませんが‥ フォルダを64層にするだけで、実に257桁(ゼロの数が256個)の数になりました。これは「宇宙にあるすべての粒子」という例え話を遥かにこえた数なので、実際にはパソコンのフォルダで再現することはできません。

     ≪宇宙クラスの数≫


     一説によると、観測可能な宇宙の大きさは直径が930億光年だそうです。例えば、その宇宙を水で満たしたとしても、その水分子の数は113桁(ゼロの数が112個)の数にしかなりません。さて、このようにフォルダの層(例えですが)を深めてゆくと、あるところで演算のレベルがアップします。

       1層 3→1→1 =  3↑1 =  3^1 =  3           
       2層 3→2→1 =  3↑2 =  3^2 =  3×3 = 9        
       3層 3→3→1 =  3↑3 =  3^3 =  3×3×3 = 27     
       4層 3→4→1 =  3↑4 =  3^4 =  3×3×3×3 = 81    
       5層 3→5→1 =  3↑5 =  3^5 =  3×3×3×3×3 = 243 
         :                                
     3↑3層 3→27→1 =  3↑(3↑3) …第2章へ…           

     この「あるところ」とは、例えば「3↑3」「3↑4」「3↑5」‥ と、数式の右辺の数を増やしたとき「3↑(3↑3)」となるところです。つまり「3↑3」なら「3↑3層」になったとき演算のレベルが上がります。これが「4↑4」なら「4↑(4↑4)」ですし、「10↑10」なら「10↑(10↑10)」です。専門的には、このレベルアップを「ハイパー演算」と呼びます。


    ■第2章 「3↑↑3」「3→3→2」 テトレーションの世界

    ≪計算の手順≫

     3→3→2 =             
     3↑↑3 =               
     3↑(3↑3) =           
     3^(3^3) =            
     3^(3×3×3) =           
     3^27 =               
     3×3×3×3× …27回続く… ×3 =  
     7625597484987         


     タワー表記の「↑↑」、チェーン表記の左から三番目の数である「2」は、累乗の連続である「テトレーション」を意味します。いわゆる“指数階段”とよばれているのがテトレーションです。これ以後、注意しなければいけないのは計算の順番です。つまり「3^3^3」をどう計算するか?

    ≪累乗の連続≫
     
     3^(3^3) = 3^27 = 7625597484987  〇 
                             
     (3^3)^3 = 27^3 = 19683        × 

     ここで、掛け算を思い出してみましょう。掛け算では「5×8」も「8×5」も同じです。しかし、累乗以降の計算においては、上記のように、左右を入れ替えると値が変化してしまいます。そして、数式の右側の値が、その数の大きさに決定的な差を生むことになります。必ず数式の右側から計算します。ここからは急速に大きくなりますよ。

     1層 3→1→2 =   3                             
     2層 3→2→2 =   3^3 =           27                
     3層 3→3→2 =   3^(3^3) =        7625597484987          
     4層 3→4→2 =   3^(3^(3^3)) =      3^7625597484987       
     5層 3→5→2 =   3^(3^(3^(3^3))) =   3^(3^7625597484987)   
      :                                        

     3^7625597484987は、だいたい10^3638334640023です。第1章を思い出しましょう。10000を64層にすると257桁の数になり、宇宙で例えられる数を遥かに超えました。ところがこの第2章では、3をたった4層にしただけで「約3兆桁の数」という巨大数に膨れ上がります。この「約3兆桁の数」なら、まだ十進数で書けますが‥ 次の5層目になると「10の約3兆乗桁の数」となり、宇宙にあるすべての物質を使っても十進数では表記出来なくなります。

     有名な数では『不可説不可説転』や『グーゴルプレックス』は、この3のテトレーションの4層と5層の間にある数です。また、小学生が大好きな「無量大数の無量大数倍を無量大数年言い続けた数」なんてのも、この3のテトレーションの4層と5層の間にある数です。

     さて、前章と同様にここでも「3↑↑3」に対して「3↑↑(3↑↑3)」となったとき‥ つまり、7兆6255億9748万4987層で、演算のレベルがアップします。

     :                                         
    3↑↑3層 3→7625597484987→2 = 3↑↑(3↑↑3) …第3章へ…        


    ■第3章 「3↑3」「3→3→3」 ぺンテーションの世界

    ≪計算の手順≫

     3→3→3 =                                    
     3↑↑↑3 =                                   
     3↑↑(3↑↑3) =                                
     3↑↑(3^(3^3) =                                
     3↑↑3^(3×3×3) =                              
     3↑↑(3^27) =                                 
     3↑↑(3×3×3×3× …27回続く… ×3) =                      
     3↑↑7625597484987 =                            
     3^(3^( …7625597484987回続く… (3^(3^(3^3)))…)) =           
     3^(3^( …7625597484985回続く… (3^(3^(3×3×3)))…)) =         
     3^(3^( …7625597484985回続く… (3^(3^27))…)) =            
     3^(3^( …7625597484984回続く… (3^(3×3×3×3× …27回続く… ×3))…)) =
     3^(3^( …7625597484984回続く… (3^7625597484987))…)) =       
      :                                       
     トリトリ                                    


     タワー表記の「↑↑↑」、チェーン表記の左から三番目の数である「3」は、テトレーションの連続である「ぺンテーション」を意味します。例えば「3→3→3」という、3のトリオで「トリトリ」なんて名前で呼ばれて愛されるこの巨大数は、前回の第2章、3のテトレーションの7兆6255億9748万4987層となる数です。ところで、テトレーションの連続とはどういうことでしょうか?ここが少しわかりにくいかもしれません。

     前章のテトレーションは累乗の連続を意味しました。

     3↑↑3 = 3^(3^3)       
     3↑↑4 = 3^(3^(3^3))    
     3↑↑5 = 3^(3^(3^(3^3))) 

     これと同じです。

     3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)        
     3↑↑↑4 = 3↑↑(3↑↑(3↑↑3))    
     3↑↑↑5 = 3↑↑(3↑↑(3↑↑(3↑↑3))) 


     数式の右側から計算してゆえばOKです。

     オレンジ‥計算箇所
     グリーン‥計算結果

     3↑↑↑4 =                               
     3↑↑(3↑↑(3↑↑3)) =                        
     3↑↑(3↑↑(3^(3^3))) =                        

     3↑↑(3↑↑(3^(3×3×3)))=                      
     3↑↑(3↑↑(3^27)) =                         
     3↑↑(3↑↑(3×3×3×3×3‥ 27回続く)) =                
     3↑↑(3↑↑7625597484987) =                    
     3↑↑(3^(3^( …7625597484987回続く… (3^(3^(3^3)))…))) =    
     3↑↑(3^(3^( …7625597484985回続く… (3^(3^27))…))) =       
     3↑↑(3^(3^( …7625597484984回続く… (3^7625597484987)…)))= 


     この第3章は、すでに指数表記が困難なので、イギリスのクヌースさんが考えたタワー表記で、つまり「テトレーションの連続」で理解してゆく必要があります。3層から4層、4層から5層の数の爆発に注目しましょう。

     1層 3→1→3 =  3                              
     2層 3→2→3 =  3↑↑3 =              7625597484987     
     3層 3→3→3 =  3↑↑(3↑↑3) =           トリトリ          
     4層 3→4→3 =  3↑↑(3↑↑(3↑↑3)) =        3↑↑トリトリ      
     5層 3→5→3 =  3↑↑(3↑↑(3↑↑(3↑↑3))) =    3↑↑(3↑↑トリトリ)  
      :                                         

     これを指数表記で無理やり書くとこうなります。

     3層 3^(3^( …7625597484987回続く… (3^(3^(3^3)))…))

     約7兆回も3の累乗が続きます。これが4層に行くと‥

     4層 3^(3^( …トリトリ回続く… (3^(3^(3^3)))…))

     さらに5層だと…

     5層 3^(3^( …3↑↑トリトリ回続く… (3^(3^(3^3)))…))

     3の累乗が4回か5回続けば、宇宙規模で例えられる話はその中に納まってしまう。それが約7兆回も続いたのがトリトリです。そしてトリトリよりも一つ深い4層目となると、3の累乗がトリトリ回も続くのです。一般人が思いつく最強のアイデア「無量大数の無量大数の無量大数の…(無量大数年云い続ける)…無量大数乗乗乗乗…」という数は、この3のぺンテーションの3層と4層の間にある数になります。さて、次は第4章です。つまり3のぺンテーションのトリトリ層です。

     :                                         
    3↑↑↑3層 3→トリトリ→3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) …第4章へ…           


    ■第4章 「3↑3」「3→3→4」 ヘキセーションの世界

    ≪計算の手順≫

     3→3→4 =                                   
     3↑↑↑↑3=                                   
     3↑↑↑(3↑↑↑3) =                               
     3↑↑↑(3↑↑(3↑↑3)) =                            
     3↑↑↑(3↑↑(3^(3^3)) =                           
     3↑↑↑(3↑↑(3^(3×3×3)) =                          
     3↑↑↑(3↑↑(3^27) =                              
     3↑↑↑(3↑↑(3×3×3×3× …27回続く… ×3)) =                 
     3↑↑↑(3↑↑7625597484987) =                        
     3↑↑↑(3^(3^( …7625597484987回続く… (3^(3^(3^3)))…))) =       
     3↑↑↑(3^(3^( …7625597484985回続く… (3^(3^(3×3×3)))…))) =     
     3↑↑↑(3^(3^( …7625597484985回続く… (3^(3^27))…))) =        
     3↑↑↑(3^(3^( …7625597484984回続く… (3^(3×3× …27回続く… ×3))…))) =
     3↑↑↑(3^(3^( …7625597484984回続く… (3^7625597484987)…))) =   
     :                                         
     3↑↑↑トリトリ=                                
     3↑↑(3↑↑( …トリトリ回続く… (3↑↑(3↑↑(3↑↑3)))…)) =          
     3↑↑(3↑↑( …トリトリ-2回続く… (3↑↑(3↑↑(3^(3^3))))…)) =        
     3↑↑(3↑↑( …トリトリ-2回続く… (3↑↑(3↑↑(3^27)))…)) =          
     3↑↑(3↑↑( …トリトリ-3回続く… (3↑↑(3↑↑(3×3× …27回続く… ×3)))…)) = 
     3↑↑(3↑↑( …トリトリ-3回続く… (3↑↑(3↑↑7625597484987))…)) =     
     :                                         
     グラハル                                     

     タワー表記の「↑↑↑↑」、チェーン表記の左から三番目の数である「4」は、ぺンテーションの連続である「ヘキセーション」を意味します。「3→3→4」はグラハム数の基礎であり「3→トリトリ→3」であり。つまり、前回の第3章、3のペンテーションのトリトリ層です。あらためてその途方もない数を「3の累乗の連なり」で見てみましょう。

     ※ 赤字で記した数字の数だけの「3」が累乗で連結されています。

     3↑↑3 = 3^(3^3)                                
     3↑↑4 = 3^(3^(3^3))                              
     3↑↑5 = 3^(3^(3^(3^3)))                            
     3↑↑6 = 3^(3^(3^(3^(3^3))))                         
      :                                         
     3↑↑(3↑↑3) =              3↑↑↑3                
      :                                        
     3↑↑(3↑↑↑3) =             3↑↑↑4                
      :                                         
     3↑↑(3↑↑↑4) =             3↑↑↑5                
      :                                         
     3↑↑(3↑↑↑5) =             3↑↑↑6                
      :                       :                   
     3↑↑(3↑↑↑(3↑↑↑3)-1) =         3↑↑↑(3↑↑↑3) =   3↑↑↑↑3 
      :                       :                 
     3↑↑(3↑↑↑(3↑↑↑↑3)-1) =      3↑↑↑(3↑↑↑↑3) =  3↑↑↑↑4 
      :                       :                 
     3↑↑(3↑↑↑(3↑↑↑↑4)-1) =      3↑↑↑(3↑↑↑↑4) =  3↑↑↑↑5 

     (3↑↑↑(3↑↑↑3)-1) ‥ 約3↑↑3
     
     ※ 約というのは「1」の誤差ですが、ペンテーションにおける「1」の差なので、宇宙的物差しで測れば途方もない差があります。
       
     このように「3↑↑↑↑3」は、3の累乗が約3↑↑↑↑3回続いた数だとわかります。3の累乗は、「3」がたった5回続けば、宇宙で例えられる限界をはるかに越えてしまいます。それが、「約3↑↑↑↑3」も続く‥(遠い目)。しかし「3↑↑↑↑3」を説明するのに、「3の累乗が約3↑↑↑↑3回続いた数」というのは、説明になってない気がします。なので、3のペンテーションの船出であるトリトリ(3↑↑↑3)を理解することが重要だと思います。トリトリは3の累乗が7兆6255億9748万4987回続いた数です。そして、そこから3のペンテーションを一歩進めた3↑↑↑4は、3の累乗がトリトリ回続いた数‥ この様にして、3のペンテーションをトリトリ歩進めた数が「3↑↑↑↑3」です。


    ■第5章 グラハム数 G^64【4

     いよいよグラハム数に向かう準備が出来ました。ここからはクヌースさんのタワー表記では表記することが困難になります。この第5章のために、コンウェイさんのチェーン表記をこの解説で導入したとも言えます。さて、グラハム数はこのように定義されます。

     ≪グラハム数の定義≫

     G^64 【n】      ‥グラハム数を示すG関数。
     G【n】 = 3→3→n   G関数の中身。
     n = 4         代入する数。


     ここで「G^64」は累乗を意味するのではありません。「G関数の連続の回数」もしくは「G関数の入れ子の回数」を意味します。例えばこうです。

     G^1 【n】 = 3→3→n             
     G^2 【n】 = 3→3→(3→3→n)         
     G^3 【n】 = 3→3→(3→3→(3→3→n))      

     G^4 【n】 = 3→3→(3→3→(3→3→(3→3→n)))
      :                        


     つまり、G^2 【4】は「3→3→(3→3→4)」であり、クヌースさんのタワー表記で説明するなら、矢印が3↑↑↑↑3本ある数という‥ とんでもないことになります。第1章から第4章までの、数の猛烈なインフレーションは、しかしコンウェイさんのチェーン表記の視点からすれば、右端の変数の値が「1」から「4」に変化しただけでしかないのです。さ、グラハム数へ進みましょう‥

     G^1【4】 = 3↑…(4本)…↑3

     ここから始まって‥

     G^2 【4】 = 3↑…(3↑↑↑↑3本)…↑3 

     ということは、次のG^3【4】は‥

     G^3 【4】 = 3↑…(3↑…(3↑↑↑↑3本)…↑3)本…↑3 
     
     つまり、グラハム数は‥

      :                                        
     G^64【4】 = 3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→
    (3→3→
    (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→
    (3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→
    (3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→
    (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→
    (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→
    (3→3→(3→3→   
                 (3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→(3→3→4)  
                 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

     このコンウェイのさんのチェーン表記のよいところは、展開式を使って十進数に出来ることです。

     ≪チェーン表記の展開式≫

     a→b = a^b           
                      
     a→1→b = a          
                     
     a→b→c = a→(a→b-1→c)→c-1

     手順が爆発的に増大するので、物理的にはグラハム数の展開は不可能ですが‥ 以下が計算が “詰む” までの実演です。

     ≪展開図≫




    ■おわりに

     
     実は、コンウェイさんのチェーン表記は、3チェーンを4チェーンに増やすと、グラハム数クラスの数をシンプルに記述することが出来ます。ただ、グラハム数を正確には表記出来ませんが、このような比較がよくされます。

     3→3→64→2 < グラハム数 < 3→3→65→2

     また、「3→3→3→3」とするだけでグラハム数を爆発的にこえるこも知られています。最後に、そのことが一目でわかる図を掲載しておきます。


     まず、赤線部分に注目すると「3→3→64→2 < グラハム数 < 3→3→65→2 」であることがわかります。

     3→3→64→2‥ 27    
                   
     グラハム数‥   3→3→4 
                   
     3→3→65→2‥ 3→3→27 

     次に、青線部分に注目すると「3→3→3→3」がグラハム数を爆発的にこえているのが分かります。

     3→3→64→2        
       :            
     グラハム数         
       :            
     3→3→65→2        
       :            

       :            
     3→3→(3→3→27→2)→2   ※3→3→3→3を展開したもの。

     ね!

     【参考文献】

     グラハム数 ウィキペディア
     コンウェイのチェーン表記 ウィキペディア
     光年 ウィキペディア
     観測可能な宇宙 ウィキペディア
     Yahoo知恵袋
     常用対数表
     大人が学び直す数学
     高精度な高等関数が使えるフリー計算機



     
      
     【最終更新】

     2017.8.5
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