• 結局分からないコーシー列☆(^~^)

    2018-04-14 14:21

    「 叡王戦を見ながら コーシー列について 考えようぜ☆」

    「 叡王戦だけ見てればいいのに……☆」


    「数列についてのコーシーの収束条件/コーシーの判定条件」
    http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Limit/LimitOfSequence/Theorem2PrfCauchy.htm


    「 だるま が隠れて こそこそ 読んでいた記事がこれだぜ☆」
    「 極限値 は分からないけど、 収束するか、しないかを判別できるのが
    コーシー列みたいよ」

    「 なぜ 収束だけ分かる列 という名前にしないんだぜ☆?
    基本列、という名前は どうしたものかだぜ☆
    収束することが分かる列は なんで 基本列 なんだぜ☆?」








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  • ε‐N論法を使った証明って何なんだぜ☆(^~^)!?

    2018-04-12 20:19

    「 コンピューター将棋にも飽きたか☆?」
    「 むしろ 数学熱がある間に コーシー列を覚えようぜ☆?」
    「 微速微塵、遅々漸進はどこにいったのよ?」
    「 やはり 飽きてきたのかも……☆」



    「ε-N 論法を使った証明について」清野和彦
    https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/13_odat-01b.pdf


    「 さくらまる がどこからか拾ってきたこの PDF で
    勉強しようぜ☆」

    「 読んではみたが 分からなかったので、
    出てくる数式 1つ1つ見ていこうぜ☆」
    「 さっさと 見ていけだぜ☆」





    「 これは 簡単だろ☆ 1つ1つ 説明する☆」





    「 これ、集合の元(げん)を入れる かっこ☆」

    「 集合の元(げん)って何なの?」




    「 とりあえず 何かあるとするだろ☆
    これが 宇宙 だぜ☆」




    「 そのうち ここだけ注目しようぜ、と
    内側と 外側に分ける 区別みたいなやつができたら 集合だぜ☆
    今、宇宙のなかにある1つの集合と、その外側を 見ているが……☆」





    「 集合の外側とか 意識から外してしまえだぜ☆
    かっこ とかも イメージから取り除いていい☆
    今、 元(げん)が4つ見えていると 言ってもいいし、
    集合(しゅうごう)の1つに着目していると 言ってもいい☆」

    「 元(げん)が4つなのと、集合(しゅうごう)が1つなのは
    何が違うんだぜ☆?」





    「 例が悪かったので ひよるぜ☆」
    「 集合は ルールのようなもので、 元(げん)は
    1つ1つの例なの?」
    「 図は 分かりやすくしただけなんで……☆
    共通点で まとめた集合があってもいいし、
    共通点ない集合があってもいい☆」





    「 で、小文字の a って何かなんだが☆」






    「 どれだかわからないが、どれか1つ、あるいは どれでもないかだぜ☆」
    「 2つのことはないのか☆」
    「 元を2つ入れるようになってくると 新しい集合 になってしまう☆
    a とか書いているうちは 1つか、どれでもないかだぜ☆」




    「 どれか はっきりさせたいが 元(げん)に 1個1個
    名前を付けているのが めんどうくさい ときは 自然数 に対応づける☆」




    「 で、 0から4まで 全部 1個1個 見ていこうぜ、
    という気分が出てくると 数の代わりに n とか書いておけだぜ☆」
    「 a と n は何が違うの?」
    「 a だけだと どれか1つの場合だけだが、
    n が付いてる方は 1つ1つ見ていく、という気分がある☆」




    「 n のときは 変わってるが
    雰囲気は分かるだろ☆」





    「 こういう書き方も 見慣れてきただろ☆
     はカウントしても しなくても同じで おもんないんで 省略だぜ☆」







    「 無限大に向かうn を持った集合とか
    宇宙の中の どこに ぽつんと あっても おかしくない?」

    「 べつに……☆ そういう考えは よく使う☆
    それは ひとまず おいとこうぜ☆」




    「 こんな集合があるとしよう☆」
    「 …………☆」




    「 これ、じゅう集合☆
    n=10 に近づくほど 重 に近似し、最終的に 重 に収束する☆」

    「 これの n=∞ のときに 重 に収束するやつを
    考えればいいのよ」






    「 そういうとき、気分を盛り上げるために
    ちょんちょんちょん(…) を使う☆

    そして ∞ という 定まった数 は無いので代わりに n でも置いておき、
    n は ∞ に向かっているとしよう☆」

    「 これは 収束するのかだぜ☆? それとも発散するのかだぜ☆?
    それとも 振動するのかだぜ☆?」

    「 では、ここで宇宙を見てみよう☆」






    「 じゅう集合の隣に なんか星印があるぜ☆
    右はもう詰まってるな☆ 上に有界だぜ☆
    まあ、 宇宙のすべての元(げん)は 並んでいる、という前提があればだが☆
    全順序だぜ☆」
    「 上に有界だったら どうなるの?」
    「 上の方には 発散しないだろ☆
    下にもなんか あるな☆ 下にも発散しないだろ☆」
    「 振動しないのか☆?」
    「 じゅう集合が 順番通りに並んでいるとしたら、
    自然数 n は +1 を続けて もとに戻ったりしないのが定義だから
    振動しないぜ☆」
    「 だから じゅう集合 は 収束すると  になるぜ☆」
    「  ではなくて?」
    「  だぜ☆」




    「 じゃあ 宇宙は 実際には こんなふうになってんの?」

    「 a が一方向に おぎょうぎよく並んでいれば そうかもしれないが、
    べつに 収束する先は 一番右端とか、一番左端 と定まってるものだけじゃないだろ☆
    真ん中の方に 収束するやつだってある☆」





    「 3よりも大きくて、4よりも小さい数字が どっかに収束するかもしらん☆」
    「 発散はしないかもしれないが、振動はしないのか☆?」
    「 するやつも いるんじゃないか☆? π は収束するらしいけど☆」
    「 振動されちゃったら コーシー列もあったもんじゃないじゃない」

    「 収束や振動を 説明するには、 波 の感じも つかんでおくと
    いいと思うんだが、今日はもう ここまでにしようぜ☆」



  • コーシー列って何なんだぜ☆(^~^)?

    2018-04-11 20:35

    「 コーシー列って 何なんだぜ☆?」

    「 数個前のnと 今のmとの差が 十分小さくなった頃に
    手ごろな 近似値x が取れることだろ☆」

    「 数個って 何個だぜ☆? mとnは 何個 離れているんだぜ☆?」

    「 1個でも 100個でも 1億個でもいいのよ!
    m と n と呼び分けているんだから、 m と n が
    おんなじということはないでしょう」

    「 1個 離れてることと、1億個離れてることは だいぶ違うだろ☆?」

    「 何と 何が 1億個離れてたら だいぶ違うのよ?」

    「 ε (イプシロン) を100億にして、
    1 と 1憶1 を比べたら コーシー列かだぜ☆?」

    「 あと1憶進んだら 何と何なのよ」

    「 1憶1 と 2億1 だろ☆」

    「 鍛えの入ったアルキメデス的だぜ☆」

    「 差は ずっと 1憶に保たれる☆
    |<ε だぜ☆」

    「 || は限りなく小さくなり続けなければ
    ならないのではないか☆ 縮まらないのは論外なのではないか☆?」

    「 初聞きだぜ☆ そんな話は聞いたことがないぜ☆」


    「 ε は、 1 とか 0.1 とか 0.0000001 を
    入れるのではないか☆?」

    「 任意だろ☆ わたしは 1憶 を入れるぜ☆」

    「 …………」

    「 もっと 公算射撃のように 何かを狙おうという意識を持てだぜ☆」

    「 εーN論法 に そんな説明ないだろ☆!
    極限の話しをしている段落が 上にあることもあるが、
    数式の中に なんの制約もないだろ☆」

    「 上の段落にあるのに……☆」

    「 ふらふら しながら 間を取る、間を取る、 と動いて行って、
    だいたい ふらふら が静まってくるのが コーシー列 なんじゃないの?」

    「 ε を 1憶 にしたんで☆
    ほとんどのものが 静まっているぜ☆」

    「 …………☆」





    「 1憶 じゃなくて、どんな数でも
    あてはまらないと いけないんじゃない?
    やっぱり 0.0000001 でも 当てはまる必要があるのよ」

    「 わたしの任意じゃないのか……☆」

    「 任意の正の実数だし、手ごろな大きさの数字から、
    小さい数まで 入れてみろだぜ☆
    大きい数は入れなくてもいいだろ、 <ε の条件を緩めても 変わりがない☆」

    「 実数を調べようとしているのに、実数を使っていいのかだぜ☆?」
    「 じゃあ 順序体K で」

    「 任意の正の順序体K かだぜ……☆」

    「 じゃあ ε は、 0.01 ぐらいにしよう☆」

    「 よし、成長した☆」

    「 ε=0.01 を受けて、 任意の自然数L は 1憶 にしようぜ☆?」

    「 退化した☆」
    「 1憶とか そんな 極限にまで近づいたところで
    戦わなくてもいいんじゃないの?」

    「 L がでかいと 極限に近いのかだぜ☆?」

    「 N は どこでもいいが、
    任意の ε の小ささより、 もうちょい小さい、と言える程度のところで
    いいんだぜ☆」

    「 どこなら 任意の ε の小ささより もうちょい小さいところなんだぜ、
    n とか m とかいう添え字は☆」

    「 とりあえず N は 0 か 1 から始めたらいいんじゃないの?」

    「 任意の自然数と言ったじゃないかだぜ☆?」

    「 n と m は だんだん大きくなっていくんだぜ☆
    0 か 1 から始めれば どんな数も通るだろ☆」


    「  とか  とか 何なんだぜ☆?
    m と n が大きくなると、
     と  は小さくなってるのかだぜ☆?」

    「 小さくなってるんじゃなくて、  に近似していってるはずなのよ」

    「 小さくなっているのは 差 だぜ☆ 分かれ☆」

    「 ||<ε に
    なってるときの m,n と、
    なってないときの m,n があるんじゃないかだぜ☆?」

    「 m と n は でかくなり続けているんだから、
    そのうち <ε になるだろ☆」

    「 <ε になるまでの手前では ||≧ε だろ☆」
    「 手前なんか どうでもいいじゃない」

    「 …………………………………………☆?」

    「 m、n が 10や11 のときは <ε だとしよう☆
    m、n が 1憶や1憶1 のとき ≧ε に覆ったらどうするんだぜ☆?
    永遠に調べないと、最終的に <ε になるか わからないだろ☆」

    「 順序体K の要素 a は順に並んでいるんじゃないのかだぜ☆?
    例えば 3、 3.1、 3.14、 3.141、 …
    のように だんだん 大きくなっていく数とか☆」

    「 増えたり減ったり 繰り返す a もあるのでは☆?」

    「 a は 増えたり減ったり してもいいのよ。
    コーシー列なのは 順序体K の方で、
    a はその部分列なのよ。
    1番ちらかってるaから、一番aな数まで、並んで入ってるのよ」

    「 うーむ☆
    コーシー列 は 延長戦だな☆」

    「 なにが分からんのか……☆」