ピタゴラスの定理のとある拡張
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ピタゴラスの定理のとある拡張

2017-12-04 00:00
  • 3
この記事は、日曜数学 Advent Calendar 2017 の4日目の記事です。
昨日はmattyuuさんの「血液型の割合に感じる神の意思」でした。
直角三角形ABCの斜辺をc、他の二辺をa,bとすると、次式が成立します。

みなさんご存知ですね。三平方の定理とかピタゴラスの定理とかと呼ばれるやつです。

ところで、こんな図もよく見かけますね。
aの二乗は、図の青い正方形の面積になります。
三平方の定理は、青色の正方形の面積と緑色の正方形の面積の和が、赤色の正方形の面積に等しいと言っているわけです。

と、ここまでは中学で習う内容。

この定理は、色々拡張することができます。

たとえば、こんな風にしてみたらどうなるでしょうか?
各辺の上の三角形は、すべて正三角形です。
一辺がaの正三角形の面積は、
で表されます。
一方、三平方の定理の両辺を√3/4倍してやれば、
となります。
したがって、青色の正三角形の面積緑色の正三角形の面積の和は、赤色の正三角形の面積になることがわかります。

正五角形にしてみましょう。
一辺aの正五角形の面積は、
で表され、三平方の定理の両辺を等倍してやれば、
となりますから、正五角形でもやっぱり青+緑=赤となることがわかります。

どこまで拡張できるでしょうか?

実は、相似な図形であれば、同様の定理が成立します。

直角三角形ABCの各辺上に、相似比 a:b:c の図形を作ったとします。
するとこれらの面積比は、になります。
したがって、三平方の定理の両辺を適切に等倍してやれば、小さい二つの面積の和が、最大の面積に等しいことが示せます。
たとえば下図のように、各辺の上に相似な星形を作っても、やはり青+緑=赤となるのです。
多角形である必要もありません。
たとえば半円を描いてみましょう。
半円はすべて互いに相似なので、これもやはり青+緑=赤になります。

ところで、この赤い半円を、反対側にパタンと折り曲げてみましょう。
(半円に対する円周角は直角なので、頂点Cが赤い半円の周上に乗ります)

ここで、半円同士の重なっている部分を取り除くとどうなるでしょうか。
青からは小さい弧と弦に囲まれた面積が除かれ、緑からは中くらいの弧と弦に囲まれた面積が除かれます。
そして赤からは、その両方が除かれます。
よって、「青+緑=赤」の両辺から同じ面積が除かれるので、除いた残りの面積は等しくなります。
したがって、この図においてもやっぱり、青+緑=赤が成立するのです!

この図、中学入試でよく見かけますね?
これはヒポクラテスの定理と呼ばれ、たとえば次のような問題が実際に出題されています。
わざわざ円周率の値が書いてありますが、そんなもの必要ないわけですね。

応用として、こんな問題もあります。

すぐにわかるでしょうか? ぜひ、考えてみてください。


明日は横山明日希さんの「放物線の話」です。お楽しみに!

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(8/(2^0.5))^2=64/2=32かなぁ
1週間前
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8*8*(1/2)*(1/2)=16だ!
1週間前
×
正解は、8×8÷2÷2=16でした。
問題の図を、線分OBを軸に左右反転させたものを描くと、直角を挟む二辺が8cmの直角二等辺三角形ができます。
斜線部分の面積は、この直角二等辺三角形の面積の半分なので、8cm×8cm÷2÷2=16cm^2となります。
1週間前
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