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モンティホール問題
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モンティホール問題

2017-10-14 01:05
    忘備録です。
     モンティホール問題とは、
    プレイヤーの前には3つのドアがあり、ドアの向こうには一つだけ当たりを意味する新車が、残り2つにははずれのヤギが待ち構えているという割と有名なやつです。
    プレイヤーは3つのドアの中からどれか一つを選択できますが、選んだ後に、残り2つのドアの内、外れのドアを開示され、さらにその後、選択したドアを変更する権利を得ます。
    プレイヤーはドアを変更するべきでしょうか?―

     私が初めてこの問題を耳にした時の感想ですが、さっぱりわかりませんでした。選択枝が3つから2つに減っただけで、ドアを変更しただけで確率が上がるのか?と

     先に結論から言うと、上がります。
     最初から一貫して選択を変更しなかった場合、当たる確率は3分の1です。一方、外れのドアを開けられて選択を変更する場合は元々選んでいたドアが当たりであるならば2通りとも外れ元々のドアが外れなら2通りとも当たり・・・・・・・・・・・・・
    考えるのは間違いです。
     そもそも最初に当たりのドアを開ける期待値が3分の1なので外れる可能性は1/3×1/2+1/3×1/2=1/3。当たりを当てる可能性は1/3×1+1/3×1=2/3。
     ということです。


     ここからは補足になります。
     じゃあドアを変更しない方がいい場合はあるのか。ということでドアが4枚、5枚、6枚の時についても考えてみましょう。
     4枚の時、最初に当たりを引いていれば当然変更した場合は絶対に外れになるので1/4で外れ。当たりを引いてから外れを引く確率は3/4×1/2。足して5/8。当たりを求める方法からでもできますが、当たりは3/8。一貫して変えない場合の1/4を上回っています。
     5枚の時は1-(1/5+4/5×2/3)=4/15。これも変えたほうが確率が上がります。
     6枚の時は5/24。どうやらこの手の問題が出た時はドアの枚数に限らず変更したほうがいいようです。


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