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素数
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素数

2018-10-26 18:33
    ※確証もなくそれっぽいことを徒然と書く忘備録です。鵜呑みにされても困ります。

     最初に、1から100までの素数を示しておきます。1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97


     今回は、素数の値を自然数の二乗の値を使って絞っていきたいと思います。具体的には、自然数nを二乗したものから整数aを差し引いた値が因数分解できるかどうかで、素数+αとそれ以外の値に分けていきます。

     まず、5の二乗を使って判別していきましょう。
    例えば、21は5×5-4なので
    21=5×5-4
     =(5-2)(5+2)
    と整数同士の積になるので非素数です。

     では素数はというと、
    23=5×5-2
     =(5-√2)(5+√2)

    19=5×5-6
     =(5-√6)(5+√6)

    17=5×5-8
     =(5-√8)(5+√8)
    のようになります。しかしここで、問題が出てきます。15を判別しようとすると、値が√10となり、素数と見分けがつかなくなります。実際のところ、5の二乗ではなく4の二乗を使えば非素数ということはわかりますし、他にも33や39といった特定の自然数の二乗でなければ判別できない数が出てきますが、全て機械に任せれば問題ないでしょう。




    とするのはあまりに機械任せなので、多少は手計算でなんとかできないものかと考えてみました。そして編み出したのが「圧縮法」です。
    15=8×8-7×7
     =(8-7)(8+7)

    素数であればその素数と1以外に約数を持たないということ。つまり、(8-7)(8+7)を(4-1)(4+1)へと変換させる方法・・・!






     そんなエキセントリックな圧縮法は僕には見つけられませんでした。はいお。なのでここからは力業で行きます。
     上述の判別法により浮き出た数の最小素数は3です(2は割愛させていただきます)。なので判別したい自然数を3で割った値以下の素数を使います。15なら3から5まで。35なら3から11まで。素数であればそれらの数の最小公倍数を割った時、商は整数には成り得ません。以上。眠い。




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