ああさん のコメント

8*8*(1/2)*(1/2)=16だ!
No.2
35ヶ月前
このコメントは以下の記事についています
この記事は、 日曜数学 Advent Calendar 2017 の4日目の記事です。 昨日はmattyuuさんの「 血液型の割合に感じる神の意思 」でした。 直角三角形ABCの斜辺をc、他の二辺をa,bとすると、次式が成立します。 みなさんご存知ですね。三平方の定理とかピタゴラスの定理とかと呼ばれるやつです。 ところで、こんな図もよく見かけますね。 aの二乗は、図の青い正方形の面積になります。 三平方の定理は、 青色の正方形 の面積と 緑色の正方形 の面積の和が、 赤色の正方形 の面積に等しい と言っているわけです。 と、ここまでは中学で習う内容。 この定理は、色々拡張することができます。 たとえば、こんな風にしてみたらどうなるでしょうか? 各辺の上の三角形は、すべて正三角形です。 一辺がaの正三角形の面積は、 で表されます。 一方、三平方の定理の両辺を√3/4倍してやれば、 となります。 したがって、 青色の正三角形 の面積 と 緑色の正三角形 の面積の和は、 赤色の正三角形 の面積になる ことがわかります。 正五角形にしてみましょう。 一辺aの正五角形の面積は、 で表され、三平方の定理の両辺を等倍してやれば、 となりますから、正五角形でもやっぱり 青+緑=赤 となることがわかります。 どこまで拡張できるでしょうか? 実は、 相似な図形であれば、同様の定理が成立します。 直角三角形ABCの各辺上に、相似比 a:b:c の図形を作ったとします。 するとこれらの面積比は、 になります。 したがって、三平方の定理の両辺を適切に等倍してやれば、小さい二つの面積の和が、最大の面積に等しいことが示せます。 たとえば下図のように、各辺の上に相似な星形を作っても、やはり青+緑=赤となるのです。 多角形である必要もありません。 たとえば半円を描いてみましょう。 半円はすべて互いに相似なので、これもやはり青+緑=赤になります。 ところで、この赤い半円を、反対側にパタンと折り曲げてみましょう。 (半円に対する円周角は直角なので、頂点Cが赤い半円の周上に乗ります) ここで、半円同士の重なっている部分を取り除くとどうなるでしょうか。 青からは小さい弧と弦に囲まれた面積が除かれ、緑からは中くらいの弧と弦に囲まれた面積が除かれます。 そして赤からは、その両方が除かれます。 よって、「青+緑=赤」の両辺から同じ面積が除かれるので、除いた残りの面積は等しくなります。 したがって、この図においてもやっぱり、青+緑=赤が成立するのです! この図、中学入試でよく見かけますね? これはヒポクラテスの定理と呼ばれ、たとえば次のような問題が実際に出題されています。 わざわざ円周率の値が書いてありますが、そんなもの必要ないわけですね。 応用として、こんな問題もあります。 すぐにわかるでしょうか? ぜひ、考えてみてください。 明日は横山明日希さんの「 放物線の話 」です。お楽しみに!
Twitterで書ききれないようなことを思いついたときに書きます。