漸化式と数列を復習してみる
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漸化式と数列を復習してみる

2016-10-20 19:00
    ・先日読んだ「お任せ!数学屋さん2」に出てきた漸化式(ぜんかしき)についてあまり記憶が無いので調べてみる。私は別に数学の専門家でも詳しい人でもなく、そんなのもあったっけ?みたいに好奇心で調べているだけなので正確な記述じゃないかもです。あまり参考にしないことをオススメします。

     小説の中では、不登校になった生徒の心の変化を表わすものとして登場する。
    二代目数学屋さんとなったヒロインが、今は遠くにいる初代数学屋さんに助けを求めると、
    メールでの返信は

     An+1=Anーf(n) n:日数  f(n)≧0

     という式のみ。
     ブロマガ上では、添え字の表記がうまくできないのだけど、An+1は An足す1ではなく
     Aにn+1という小さな添え字がついている。Anーf(n)はAnマイナスf(n)。

     式ではなく具体的な数字でわかりやすくした例が示してあって
     時給1000円のバイトをn時間行った時にもらえる給料をAnとすると
     An+1=An+1000

     nに1、2、3、・・・と時間を入れてみると

     A2=A1+1000
     A3=A2+1000
     A4=A3+1000
     ・・・

    あるいは 年利20パーセントでお金を借りて、n年後の借金をbnとすると
     bn+1=1.2×bn

     nに1、2、3、・・・と年数を入れてみると

     b2=1.2×b1
     b3=1.2×b2
     b4=1.2×b3
     ・・・

     1個前の式に計算を加えると、次の式が出てくる、ということにヒロインは気付く。

    また、これらの式は、上の式を下の式に代入していくと

     A2=A1+1000
     A3=A1+1000+1000
     A4=A1+1000+1000+1000
     ・・・

     b2=1.2×b1
     b3=1.2×1.2×b1
     b4=1.2×1.2×1.2×b1
     ・・・

    のように書き換えられるとヒロインは気付く。すると最初の式は

     An+1=Anーf(n)
     ↓
     A2=A1ーf(1)=A1ーf(1)
     A3=A2ーf(2)=A1ーf(1)ーf(2)
     A4=A3ーf(3)=A1ーf(1)ーf(2)ーf(3)
     A5=A4ーf(4)=A1ーf(1)ーf(2)ーf(3)ーf(4)
     A6=A5ーf(5)=A1ーf(1)ーf(2)ーf(3)ーf(4)ーf(5)

     のように変化していく。今回nは日数で、f(n)≧0、
     A1よりもA2は小さくなり、そのA2よりもA3は小さくなり、そのA3よりも
    A4はさらに小さくなり・・・

     A1≧A2≧A3≧A4≧A5≧A6・・・

     ヒロインは、nが学校を休んだ日数、Anを「幸福度」ということにして論考をすすめると
    生徒の幸福度が毎日減って、
     学校に来た場合の幸福度 < 学校を休んだ場合の幸福度
     になってしまったから不登校になった、ということになって、本来ならこのまま学校に
    来る幸福度は減り続けるしかないのだが、

     「初項」と呼ばれる最初のA1を大きくすることができれば、逆転できるかもしれない。

     文化祭のような、日常と違う日であれば。それまでの幸福度が減り続ける流れを一度リセットして非日常を基準とできれば、また学校に来れるかもしれない。

     という感じで、いろいろ青春的なエピソードがからんでこの話は解決する。

     漸化式は最初に書いたようにあまり記憶に無いのだが、数列のところで、数列のある項の数値から次の項の値を求める、つまり

     A1、A2、A3・・・An、An+1、・・・

     みたいに並んでいる数列の項Anの値から次の項An+1の値を求める、みたいに出てきてたみたい。数列は覚えているのだが・・・

     任意の数字が並んでいて、つまり数列があって、この数字一つ一つを「項」と呼ぶことにしたとき、ある項を見てその次の項はどうなるか考えると 例えば

     1 2 3 4 ・・・
     とあれば次は5かな?とか思って、これを漸化式で表わせば
     A(n+1)=An+1
     ※A(n+1)はAの添え字がn+1で、An+1はAnプラス1だと思ってください。
     2 4 6 8 ・・・
     とあれば次は10かな?と思うような感じでこれを漸化式で表わせば
     A(n+1)=An+2

     みたいに次がどうなるかは示せるのだけど、これだと何番目の値はいくら、なんて値を計算するのには不便なので、nだけの式で表わしておけば、何番目の項であろうとnだけ決めればすぐに値がわかるので便利だね、ということでそういうのを(nの式で表わした)一般項と
    呼ぶことにして

     1 2 3 4 ・・・  だと n

     2 4 6 8・・・  だと 2n

     みたいな表現をすることもできる。つまり数列を表現する手段として、そのまま書き並べる方法のほかに漸化式と(nの式で示された)一般項の全部で三通りがあることになる。
     数列は普通無限に続くということにするので最後に・・・をつけているが、これをΣという
    記号で無限扱いする表現もあり、また一部分を取り出して考える場合は特に有限数列と呼んだりもするそうだがあんまり覚えていない。

     受験数学では漸化式を与えられてnで表わされる一般項を求める、みたいな問題が
    多いらしいが、上の例みたいに直感的にわかる簡単なものや特定のタイプを除くと、容易には求められない場合が多く、素朴に漸化式に従って具体的な各項を求めていって、あれ?こうかな?などと試行錯誤しながら一般項を予測し、予測した一般項で本当にいいのかを数学的帰納法とかで証明する、ということになるらしい。


    手近な本でそんな例をひろってくると

     A1=
        2

     An+1=   n(2n+3)   An
           (n+2)(2n+1)

    (ブロマガ上での表記の都合上、=と分数の横棒の位置がちょっとずれています)

     と漸化式が与えられた場合に一般項をnで示せ、という問題があった。

    A2は     1(2・1+3)   ×  →  1(2+3)× →
          (1+2)(2・1+1)   2     3×3×2    3×2
    A3は     2(2・2+3)   ×  5→  (4+3) × →
           (2+2)(2・2+1)   6     4×××3   4×3
    A4は     3(2・3+3)   ×  7 →  (6+3)× →  9
           (3+2)(2・3+1)   12   5××2××2  5×4

     と、とりあえずnに順番に1、2、3・・・と入れて計算してみると
     分子は2n+1、分母はn(n+1)になっているみたいに思える。直感的にだけど。

     これを数学的帰納法で証明できればいいわけだから

     まずn=1の時成り立つことを示して、n=kの時成り立つとすればn=k+1の時も
    成り立つことを示せば自動的にドミノ倒しのようにn=1、2、3・・・と全ての自然数nに対して成り立つことになるわけだから

     n=1のときは A1=  だから(縦の位置がずれているのはご容赦を)
                2

     分子は3=1×2+1 だから2n+1
     分母は2=2×1だから1(1+1)つまりn(n+1)になっており、
     n=1のときは確かに成り立つ。

     次にn=kのときに成り立つとすると
    Ak= 2k+1
       k(k+1)  ということになるから

    A(k+1)は
    Ak+1=   k(2k+3)   Ak
           (k+2)(2k+1)
    Akに 2k+1
       k(k+1)  を代入してやれば


    Ak+1=   k(2k+3)   × (2k+1)
           (k+2)(2k+1) k(k+1)
        =   (2k+3)   × (2k+1)
           (k+2)(2k+1) (k+1)
        =   2(k+1)  +1         
          {(k+1)+1}(k+1)

     となるから、n=kの時成り立てばn=k+1の時も成り立つと言えた。

     ということで一般項をnの式で示せば

    An= 2n+1
       n(n+1)  となることが証明できた。

    直感が働かないとこういうのは解けないわけで、私はあまりそういう直感は良くなかったな。

    (後半はこの本を参考にしました。P252、253あたり)


     

     

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