行列を復習してみる2(行列の掛け算の結合法則)
閉じる
閉じる

新しい記事を投稿しました。シェアして読者に伝えましょう

×

行列を復習してみる2(行列の掛け算の結合法則)

2017-04-03 19:00
    http://ch.nicovideo.jp/metabou/blomaga/ar1219028 の続き。前も書いたけど別に数学にくわしいわけでもないあまり賢くない人間がやることですので、参考にしないことをオススメします。

    ・行列の足し算(含む引き算)と掛け算のやりかたがわかったところで、割り算をやる前にちょっといくつか確認事項。

     数学をやる人は、新人さん、つまり新たな数学の概念とか関数とかが来るたびにしつこく
    同じことをやらせる。MMDの初音ミクモデルでいえばあたりめみたいな。


    http://dic.nicovideo.jp/a/%E3%81%82%E3%81%9F%E3%82%8A%E3%82%81

     それは三つのしもべじゃなかった、三つの法則をオマエは使いこなせるか、つまりそれぞれの法則が成り立つか、成り立たないかということ。成り立たなくても別に怒られたり、あっち行け、というわけではないが どの法則はOKでどの法則はNGかと知ることは数学人には
    大事な模様。

     三つの法則とは、結合法則、交換法則、分配法則。

     漠然とした言い方だけど(行列ではない)ふつうの数であれば

     2+3+4=
     という計算があったとして ()を違う位置につけても
     (2+3)+4 =5+4=9
      2+(3+4)=2+7=9

     と、途中経過が違うけど最終的な計算結果は同じになる。どこで()でくくっても結果は
    同じ、ということで結合法則が成り立つ、ということになる。つまり足し算はどこからはじめてどこで終わるか、という順番に結果が左右されない。
     掛け算についても例は示さないけど同様になる。

      数字じゃなくて文字で示すのが慣例なので文字で書くと

    足し算 (a+b)+c =a+(b+c)
    掛け算 (a×b) ×c =a×(b×c)
    みたいになる。

     また     2+3 の順番を変えて 3+2 としても答えは同じ。
    掛け算の場合  2×3 の順番を変えて  3×2 としてもやはり同じ。

     前後を入れ替えても、つまり交換しても結果は同じ、ということで交換法則が成り立つ。
     結合あるいは交換法則では足し算あるいは掛け算のどちらかしか出て来なかったが、
    これが両方出てきた場合の法則として分配法則がある。

     例ははぶくけど

     a×(b+c) =a×b+a×c

     みたいに、()を外す時には()の中にもともといた人に、外から来た人は分身して個々によりそいますよ、みたいな感じで数学では分配法則。これ分身法則って呼んだ方が私はわかりやすいと思うんだけど。

     足し算と掛け算については ちょっと数の定義があいまいだけど こんな感じの普通の数に
    対しては、三つの法則は成り立つ。
     引き算と割り算も、マイナスの数の足し算と逆数の掛け算に置き換えられるので成り立つ。

     ということで、行列の場合、これらの法則は成り立つか、ということを調べることになる。

     まず行列の足し算については、もともと足す行列と足される行列が同じ行数、同じ列数の時しかできないことになっていて、その場合行列の同じ場所にある数字同士の足し算になる。
    このことを同じ位置にある行列の成分とか要素とか言ったりするみたいだが、大モトの行列が結合したり交換したりしても、実際には同じ位置の成分の数同士の計算になる。ということでどちらの法則も成り立つ。
     引き算については、マイナスの数を足すのでやはり成り立つ。

     ちょっと違うけど、行列全体にある数Kを掛けてK倍するときなどには、行列の外に1個だけあるKが行列内の全ての成分にかかっていく。

     で、行列の掛け算の場合に三つの法則が成り立つかを見てみると

    (結合法則)
     簡単のため2×2の正方行列(行と列の数が同じ行列)で考える。

     A、B、Cは行列全体を示すこととする。
     例によって()が描けないけど
        a b         p q       u v
     A=         B=・・・・・・・・ C=
        c d         r  s       w x

     ということにする。この時

     (AB)C  がどうなるかを見てみると、()の中は

        a b  p q    ap+br   aq+bs  
           ×  ・・・
        c d  r  s    cp+dr   cq+ds  

      これにCを掛けるわけなので

    ap+br   aq+bs  u v   (ap+br)u+(aq+bs)w  (ap+br)v+(aq+bs)x
              ×     =
    cp+dr   cq+ds  w x・・・(cp+dr)u+(cq+ds)w (cp+dr)v+(cq+ds)x

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・apu+bru+aqw+bsw・・・ apv+brv+aqx+bsx
    ・・・・・・・・・・・・・・・・=
    ・・・・・・・・・・・・・・・・・ cpu+dru+cqw+dsw ・・・cpv+drv+cqx+dsx

    次にA(BC) がどうなるかを見てみると、()の中は

        p q  u v   ・・ pu+qw   pv+qx  
           ×  ・・・
        r s  w x      ru+sw    rv+sx

    なのでこれにAを掛けると

     ・・a b  pu+qw   pv+qx    a(pu+qw)+b(ru+sw) a(pv+qx)+b(rv+sx)
      ・・・×            =
     ・・c d   ru+sw    rv+sx    c(pu+qw)+d(ru+sw) c(pv+qx)+d(rv+sx)

    ・・・・・・・・・・・・・       apu+aqw+bru+bsw apv+aqx+brv+bsx
    ・・・・・・・・・・・      ・=
    ・・・・・・・・・・・・・       cpu+cqw+dru+dsw cpv+cqx+drv+dsx

     
    となって、足し算されるものの順番が一部異なるけど、基本的には各成分は同じになる。
    (この辺書いていて何度も間違えた。まだ間違ってるかもしれない。授業で板書なんかすると書くのに間に合わないかも。でも一度か二度自分で計算して書いてみないとなかなか腑に落ちないので書いてみた。しばらくして見直すと間違い発見しそうでコワイが)

     ということで、行列は(AB)CでもA(BC)でも同じ結果ですね、と確認できて今後は
    ABCって書きましょう、ということになる。つまり行列でも結合法則は成り立つ。

     今は正方行列で確認したけど、×の左側の行列の行数と、右側の行列の列数が同じであれば
    掛け算はできるわけだから、

     a a    a a a     a a a a
        ×        ×   a a a a
     a a ・・・a  a a     a a a a

    なんかの場合も、1番目と2番目の行列を先に掛けても、2番目と3番目の行列を先にかけても、結果は同じになるんだろう。確かめてないけど。

    とにかく行列の場合でも結合法則が成り立つことはわかったことにする。次は交換法則。
    実は行列の場合、この交換法則がいろいろと普通の数の常識と異なるそうだ。

    広告
    コメントを書く
    コメントをするには、
    ログインして下さい。