愚考 常用対数表を手作りする
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愚考 常用対数表を手作りする

2019-01-31 06:00
    ・昨日常用対数表というものを見たんだけどそもそもは対数表も無い時代があったわけで、最初の人は20年くらいかけてこの表を作ったらしい。小数点以下4桁まで、なんて考えると大変だけど、1桁2桁くらいまでならこんな感じで作っていけるんですって。
    (対数の底を小さな10ではなく⑩と書くなど、数学の専門家が見ると怒りそうな表記がたくさんありますのであまり真面目に読まんといて)

    ・log⑩2
     10をなんとか回かけると2。これを数値計算的に、すでにわかっているlog⑩100なりlog⑩1000なりとうまいこと関係付けると、log⑩2=カントカ×log⑩10みたいに持っていけるかもしれない。
     
    2=2
    2×2=4
    2×2×2=8
    2×2×2×2=16
    2×2×2×2×2=32
    2×2×2×2×2×2=64
    2×2×2×2×2×2×2=128
    2×2×2×2×2×2×2×2=256
    2×2×2×2×2×2×2×2×2=512
    2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024

     となって、2の10乗=1024は10の3乗=1000とほぼ等しい。
     パソコン関係の記憶容量で1キロなんとかが1024だったり1000だったりするアレ。

     すると数学ではあまりこういう表現はしないけど、
     log⑩(2の10乗)≒log⑩(10の3乗) ということになる。

     対数ではlog⑩100=2log⑩10 とか log⑩1000=3log⑩10 みたいに
     なんとか乗のなんとかをlogの前に出していいことになっている。ので

     10log⑩2≒3log⑩10 となる。オッ、log⑩2=カントカ×log⑩10でいけそう。

     log⑩10というのは10を1回掛けて10になるときの回数、1のことだったから1。

     10log⑩2=3  ということになって
       log⑩2=3÷10=0.3 小数点以下2桁までとるなら 0.30

     ということになる。常用対数表では log⑩2=0.3010 だった。
     でもまあlog⑩2はほぼ0.3くらい、と思っていればたいていの用は足りる。かも?

     2の7乗=128 と10の2乗=100でも同じようなことはできるけど

     7log⑩2=2log⑩10
      log⑩2=2÷7=0.35 となる。ちょっと精度に難がありそう。

     もっと 2のなんとか乗≒10のかんとか乗 が比率的に近い組み合わせがあれば、そちらで計算した方がもっと近い数値になるかも。でも今は2のべき乗一覧みたいのもすぐ探せるけど、あまり扱いよさそうなのは見つからなかった。

    ・log⑩4
    ・log⑩8

    で、対数の性質を使うと
     log⑩4=log⑩(2の2乗)=2×log⑩2=2×0.3=0.6
     log⑩8=log⑩(2の3乗)=3×log⑩2=3×0.3=0.9   
    となる。

    ・log⑩3

     同じような考え方に、既に求めた数値を使って計算で求めていけてしまう。
     そう思いつくまでがたいへんなのだが、

    3=3
    3×3=9
    3×3×3=27
    3×3×3×3=81

     なので 81 ≒ 80 だと思ってもいいことにすると

     log⑩81≒log⑩80 でもいいことになる。

     このとき式の左側、いわゆる左辺は log⑩(3の4乗)だから4×log⑩3になる。
     一方右辺は 
     log⑩80=log⑩(8×10)=log⑩8+log⑩10 と変形していいことになっている。
     このlogの()内にあった時は掛け算だったのがカッコが外れると足し算になるのが対数の
     ややこしくて便利なところ。実際にはlogの後ろにわざわざカッコはつけないけど。
     そしてlog⑩10は10を何回掛けたら10になりますか、ということだったから1。
     つまり右辺はlog⑩8+1 になって、log⑩8はさっき求めたから 0.9+1。

     つまり
     4log⑩3=1.9 になるから
      log⑩3=1.9÷4=0.475 ということになる。
     
     常用対数表で見ると 0.4771なんだけどまあいいやということにする。

    ・log⑩9

     log⑩9=log⑩(3×3)=log⑩(3の2乗)だから =2×log⑩3。
     なので2×0.475=0.95 がlog⑩9 の値ということになる。

    ・log⑩6

     log⑩6=log⑩(2×3)=log⑩2+log⑩3 でlog⑩2もlog⑩3ももう計算した。
     log⑩6=0.3+0.475=0.775 ということになる。

    ・log⑩5

     log⑩5=log⑩(10÷2)=log⑩10ーlog⑩2
     言わなかったけど掛け算が足し算になるように、割り算が引き算になるのが対数の性質。
     なのでlog⑩2の値はもう知ってるので
     log⑩5=1ー0.3=0.7 ということになる。

    ・log⑩7

     だいたい手口がわかったかと思うので説明を省略して式だけ示すと

     log⑩(7×7)=log⑩50
     2×log⑩7  =log⑩(100÷2)
             =log⑩100ーlog⑩2
             =2ー0.3
             =1.7
       log⑩7  =0.85

    というわけで、手作り常用対数を順番に並べ直して本物の常用対数表の値と比べてみる。
    すると小数点以下2位くらいで丸めた数値としては遜色ないような気がする。
     表と言い張るにはおこがましいけど、手作りだからこんなところで。

    log⑩1  0 ・・・・・・・・・0.0000  →0.00
    log⑩2  0.3 ・・・・・・・0.3010  →0.30
    log⑩3  0.475・・・・・ 0.4771  →0.48
    log⑩4  0.6 ・・・・・・・0.6021  →0.60
    log⑩5  0.7・・・・・・・ 0.6990  →0.70
    log⑩6  0.775・・・・・ 0.7782  →0.78
    log⑩7  0.85 ・・・・・・0.8451  →0.85
    log⑩8  0.9・・・・・・・ 0.9031  →0.90
    log⑩9  0.95・・・・・・ 0.9542  →0.95
    log⑩10 1.0 ・・・・・・・1.0000  →1.00

     丸暗記する必要はないんだけど、だいたいこんな感じ、と雰囲気がつかめると便利な
    ことがあるかもしれない。もし丸暗記するなら本物の常用対数表の4桁で

     log⑩2=0.3010 ニーサンワイーワ
     log⑩3=0.4771 ミドモワシナナイ
     log⑩7=0.8451 ナッパシツコイ
     みたいに適当にこじつけて覚えた方がいいかも。この3つだけ暗記しとけば、他は忘れても計算で求められることになる。もっといいの自分で考えてください。

     教科書に載っているような4桁までの対数表はどうやって作ったの?とか、電卓でlog計算するときのアルゴリズムはどうやってるの?とかはあいかわらずわからないんだけど、ちょっと
    だけ覗き見した気がする。
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