愚考 計算尺の理屈
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愚考 計算尺の理屈

2019-02-05 06:00
    ・計算尺でなんで掛け算や割り算の計算ができるんですか?という問いについてのイメージみたいな。計算尺というのは対数目盛を二つ並べて、それを左右にスライドさせているだけ。
     その際にある基準ラインを決めておくと、それを基準に二つの目盛の値を差し引きしたり足し合わせたりできる。

     割り算の様子に説明を入れると以下のようになる。

     割り算は同じ目盛を同じ方向に向けたものを二つ相対させている。
     下の目盛が8ということは、左端の基点1から右に(対数で)8目盛先ということ。
     上の目盛が2ということは、左端の基点1から右に(対数で)2目盛先ということ。
    左端の基点となにげに書いたけどそれぞれ上下の目盛りの基点なので同一のものではない。
    基点だけど原点というわけではなく、ゼロではなくて1であることにも注意。
     なのでうっかり8目盛先とか2目盛先とか書いたけど7目盛先、1目盛先と書くべきだったか。あるいは第8目盛とか第2目盛とか書くべきだったか。まあ呼び方は棚に上げておいて、
     この差が割り算の答えになる不思議。

     等間隔目盛りなら8目盛から2目盛引けば6になるはずなんだけど、計算尺上では
    上図のように8ー2=4となっている。これは目盛が等間隔ではなく常用対数目盛だから。
     8も2も4も頭にlog⑩がつく対数であることを忘れてはいけない。
     で、対数の場合上の図のように
     log⑩8ーlog⑩2=log⑩4 ということになっちゃう。これをlog⑩を取って表示すると
     8-2=4 となる。これだけ見ると何か間違ってるんじゃないの?と思ってしまうけど
     常用対数目盛の場合はこうなっていいんですということみたい。

     対数の法則には
     log⑩(M/N)=log⑩Mーlog⑩N
     という、対数の中の(中のというのはアバウトな言い方だけど、log⑩の後ろの部分。log⑩をトラックにたとえるなら荷台の上に乗っている荷物のような部分で、ここの数を真数と呼んでいる)割り算を対数同士の引き算に置き換えられるというものがあって、証明は省略するけど対数尺の上で引き算をした結果というのは、対数の中の割り算の結果と同じですよ、ということになっている。

     同じように考えて、掛け算の場合は対数目盛同士を足すと、真数の掛け算になる。足す場合だと片方の目盛りを反転させて、頭なり尻なりを背中合わせになるようにくっつけると、その両方を足した全体が答えになる。



     ということで、この掛け算割り算を足し算引き算に変換できるというのが対数の性質(の一つ)で、これを常用対数の場合に利用したのが計算尺ですよ、ということになる。

     計算尺の理屈をなんとなくおわかりいただけましたでしょうか。
     36×42なんかを計算したい場合には目外れという現象が起きたりしてもうひと工夫必要になったりするみたいだけどとりあえず基本はそんなところでご勘弁を。
     目盛は1から10までだから、0.5×なんとか なんて場合にも何か工夫がいるんだろうな。
     
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