愚考 指数対数の対応式の覚え方について考える
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愚考 指数対数の対応式の覚え方について考える

2019-02-13 06:00
    ・対数から計算尺の使い方までやってきたけどちょっと戻って、指数と対数の対応式についてまとめてみる。

     記号を使うと本によって違う記号だったりするのでマルサンカクシカクで書く。

     こんな関係にあったわけだけど、
    右側の上下の式の対応がパッと出ればいいわけだけどなかなか出て来ない。







     式の形だけ覚えようとしてもなかなか覚えにくい。記号がいろいろ安定しないせいもある。
    でも指数関数のグラフの関係で考えると全然難しくなくて、
     Y=aのx乗のグラフを描いた時に下図左側みたいにX軸上の点△に対応するY軸上の点は底をaじゃなくて○と書くことにすると○の△乗。
     この時右側みたいにこの○の△乗を□に置き換えて、□に対応するX軸上の値を表わすのに
    底が○のときに□に対応する値、という意味で記号logに底○を小さく書いて
    logチイサナマル□ですよ、としただけのこと。X軸上、Y軸上の対応するところが等しく
    なりますよ、と言ってるだけ。これを式だけで覚えようとするからたいへんなだけ。
     グラフのどことどこが対応してるか考えるとそんなに覚えにくくないと思う。

     この式の対応は、上図のようなグラフが描ける事が前程だから、Y=aのX乗が常に1に
    なってY=1 のX軸と平行なグラフになってしまうa=1の場合は除外しないといけない。
    aがマイナスの場合はXが2ならマイナス×マイナスでプラス、Xが3ならマイナス×マイナス×マイナスでマイナス、みたいになめらかなグラフにならないので除外しなければならない。
    aがゼロの場合もXが何であってもY=0であるから除外しないとうまくない。
     この対応は、Xに対するYがただ一つ定まる時にしか成り立たない。
     だからaが1より小さくてもただ一つ定まるのでかまわない。この時はY軸を基準に左右反転してXが大きくなるほどYが小さくなっていくグラフになる。
     また、□に該当する値がマイナスやゼロになることもグラフの範囲から在り得ないのでこれがマイナスになることは考えない(という感じでとりあえず無理やり納得してみたけどここは数学の専門家には怒られそうな書き方だと思う)。

     というわけで対応がとれるのは
    a>0 で a≠1 で □>0 という前提条件がある場合ということになる。
    その前程条件のもとで


     という対応関係が成り立つことになる。教科書はたいていこの対応式からはじまる様な形で書かれていたように思うけど、対数というのはマルをサンカク回かけるとシカクになる時の
    繰り返し回数だ、というそもそもの意味と、指数関数のグラフ上でこの対数公式がどんな感じになるか、ということは現役の学生の頃は全然考えたことなかったな。
     この対応式はグラフの位置関係と対応するようにわざと△=logうんぬんと書いたんだけど、
    通常の教科書ではlogうんぬん=△と書いてあることが多い気がする。グラフと対応させて左右入れ替えて教えちゃだめなんかなあ。





     
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