愚考 常用対数表をもう少し(4ケタの常用対数表)
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愚考 常用対数表をもう少し(4ケタの常用対数表)

2019-03-08 06:00
    ・例えば10を何回掛ければ2になるかというのをlog⑩2と表わして、具体的にその値を知りたかったら常用対数表というのを使って0.3010だとか読み取る、というのを前やった。
     (注)⑩は10を小さく書くのがブロマガではたいへんなので代用しています。普通はこう書かないので騙されないように。

     常用対数表には縦軸に小数点以下1位まで、横軸に2位の数字が書かれているから2位までの値を読める。
     例えばlog⑩2.05の値を知りたければ縦軸で2.0、横軸で5のマスが交差したところを読んで0.3118、みたいになるのだった。


     でも時には小数点以下3位までの値に対する常用対数を求めたくなるかもしれない。その場合はどうするか。
     例えばlog⑩1.346を求めたかったとする。表にはlog⑩1.34に対する値0.1271とlog⑩1.35に対する値0.1303は記載されているがその間のlog⑩1.346に対する値は記載されていない。



     y=10のX乗 もしくは y=log⑩X という関数は説明をはぶくけど増加関数ということになっているので、つまりXが大きくなるとyもそれにつられて大きくなる関数なので
     Xが大きくなるとYも大きくなる。yが大きくなるとXも大きくなる。どちらで考えてもいいのだけど指数関数y=10のX乗の場合で考えると
     ここで言ってるXというのはlog⑩1.34とかlog⑩1.35とかlog⑩1.346のことだけど普通はグラフの横方向、つまりX軸上に並んでいる。logをつけても大小関係は変わらないので当然
     log⑩1.34 < log⑩1.346 < log⑩1.35 ということになる。
     これらにY軸上の1.34、1.346、1.35 が対応する。

     Y軸上で1.34から1.346に増加、つまり0.006だけちょびっと増えた時に
    X軸上でどのくらい増えたかわかれば log⑩1.346 の値もわかることになる。
     Y軸上で1.34から1.35に0.01増えた時に
    X軸上でlog⑩1.34=0.1271からlog⑩1.35=0.1303まで増えたわけで、増加量は
     0.1303ー0.1271=0.0032ということになる。

     つまりヨコに0.0032増えるとタテに0.01増えるものが、タテに0.006増えたならヨコにいくら増えたのか、という比例計算になる(タテヨコを入れ替えてタテに0.0032、ヨコの0.006と考えても同じ)。比例計算でいいことにする。というのは小数点以下3位とか4位のような小さな数字を扱っているのでグラフの曲がりは無視してほぼ直線と考えていいと思われるから。これを比例部分の原理と言ったりしたらしいけど今はほとんど死語のような。

     求める増加量を記号は何でもいいんだけど仮にpとすると、
     0.0032:0.01=p:0.006ということになって
     内側の積=外側の積だったから(難しく言うと内項の積=外項の積だけど今は内項とか外項とかいう用語はあまり教えないみたい)
     0.01×P=0.0032×0.006=0.0000192
     すると
     P=0.0000192÷0.01=0.0000192×100=0.00192

     常用対数表は小数点以下4桁までだから0.00192→0.0019ということにして

     log⑩1.34=0.1271に
     log⑩1.34からlog⑩1.346に対応する増加分0.0019を足すと

     0.1271+0.0019=0.1290ということになる。


     というわけで常用対数表に無い、小数点以下3位の値に対する常用対数が求められた。

    これまで小数点以下うんぬんと書いてきたけど、小数点の位置は10の何乗をかけるかの
    表記を変更すると簡単に動いてしまう。

     0.134=0.0134×10=0.00134×100=0.00134×1000・・

     ので有効数字が何桁あるか、みたいな方が重要らしく何桁の常用対数(表)みたいに言うらしい。上で示した普通の常用対数表は3ケタの表ということになるみたい。

     今は常用対数表そのものが教育からも実用からも消えていってるけど、昔はこの比例部分を
    右側に付け加えて1.34みたいな3ケタではなくて1.346みたいな4ケタの対数でも値が求められるようにパワーアップした対数表も使われていたらしい。これを4ケタの常用対数表なんて呼んだりもしたみたい。

     いちいち比例計算しなくても、log⑩1.34に対する値0.1271とlog1.34とlog1.35の差を10とした時の6に該当する値0.0019を表から読んで、0.1271+0.0019=0.129となり

     log⑩1.346=0.129 

     が求められることになる。電卓もパソコンも無い時代はそういうことをしていたわけで昔の人はたいへんだった。表を読むことも技術のひとつだったんだろうな。

    電卓の中でどう計算してるかは知らないけれど、今は簡単にできてしまう。

     5ケタでも6ケタでもできてしまう。ありがたくもありおそろしくもあり。表を読むだけの技術者は生きていけなくなった。一方で対数の意味を知らなくても電卓で計算だけはできてしまい、技術者のふりをすることもできるようになった。
     私もそうだったかもしれないな、と思って今ごろおさらいをしている次第。
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