愚考 対数の各部の名前
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愚考 対数の各部の名前

2019-03-16 06:00
    ・対数についてしばらく見てきたんだけど、各部分を呼ぶのにどう呼んでいいかわからん、ということがけっこうあった。そもそも対数ってどれ?どこからどこまでが対数?というのがわからない。そう思いはじめると指数も実はよくわからない。

     2の2乗は4、なんて書いたとき、2乗のところが指数なのか2の2乗までで指数なのか。
    ただの指数と指数関数はどう違うのか。一次関数や二次関数では「一次」とか「二次」とかはあまり単語としては扱わないんだけど、指数関数や対数関数は「指数」「対数」という単語がある概念として出てきて関数に拡張されるみたいだけど。

     そもそものはじまりは○を△回かけると□になるということをどう表すか、ということだった。

     これを右側の上みたいに書くと「指数」で下みたいに書くと「対数」みたいなんだけど。
    指数表記とか対数表記とかもいうみたいなんだけど。



     じゃあこの中のどこからどこまでが「指数」なのか。


     ネットの中から適当に指数の定義を引っ張り出してくる。


     冪乗とか累乗とか表現に違いがあるけど、右肩につく小さな数字や記号が「指数」でいいみたい。
     で、上には書いてないけど右肩につかれる方の大きな数字や記号は「底(てい)」と呼ぶらしい。底というのは対数だけに出てくるのかと思ってたらちゃっかり指数にも出てたがきちんと紹介された覚えはない。
     あと、「冪(べき)」ということばも定義を調べておくと、これは底と指数両方の組み合わせを冪乗というらしい。で、指数が自然数であるときに限って累乗ともいうんですって。
     でも高校レベルでは冪という用語は使わないのかも。まあとにかくこんな感じらしい。



     右側の□の部分は特に名前がないみたい。しいて言えば値とか答えとか?
     この表現をしている時は、○は既にわかっていて、というかこの○について考えたい、ということになっていてこれを△乗したら結果として□になる、というのが普通なんだろう。
    △と□を与えられて底を求めなさいという問題も作れなくはないだろうけど。
     

     では対数はどうか。

     のどこからどこまでが対数か。

     なんとなくlogという記号そのものが対数みたいに思っちゃうけど、logの後ろにくっつく数字や記号全てひっくるめてが対数なような気もする。

     対数の定義をネットでしらべてみる。

     またわかりにくい。記号もネットで調べるといろいろ違ってややこしい。記号の意味を考えずに式だけ覚えようとするとわからなくなる。上で言っていることをまとめると


     というようなことでいいんだろうと思う。つまり指数が特定の値になる時にそれを対数と呼んで、それをなんとかの何乗=かんとか、と表記したときの記号なり数値なり使って記号数値で示せば log□になるし、値で示せば△(実際には具体的な数値が入る)になる。
     指数(の特別な場合)が対数なんだ、と言われると変な感じがする。天才(の特別な場合)は馬鹿なんだ、失敗(の特別な場合)は成功(のもと)なんだ、みたいなものか。

     つまり対数というのはlogという記号だけではなくて、log□という記号数値の並び全部ということになる。これをどう読むか、というのがたいていの教科書には書いてなくて(数学記号や式の読み方はもっと教科書に書いていいと思う。これからを考えるなら英語とか中国語でどういうかとかも含めて)、どこに書いてあると示せないんだけど私は ログ マルのシカク みたいに読んできた。
     常用対数なら○のところに10が来るから ログ ジューの シカク、
     自然対数mなら○のところにeが来るから ログ イーの  シカク
     特に名前を知らないけど○のところが2ならログ ニの   シカク みたいな。
     正しいか知らないけどこれで別に困った事はなかったけど陰で笑われていたかも?

     でもログ ニの ニ みたいにどちらにも同じ数字が来ちゃったり、どちらかを別のものに置き換えたい時なんかにどこのことだ、とはっきり伝えたい時には そこの値や記号じゃなくてそこの名前がほしい。
     ○のところを底、□のところを真数 と呼ぶことになっているらしい。私はこれまでも書いてきたけど、□のところを真数などとは呼ばないでついつい「対数の中身」とか言ってしまうけど、これは正式な言葉ではないので学校や実務でそう言うと多分バカにされます。

     logはログと読んでロガリズム(logarithm)のことらしいけど、学校では記号のログ、という感じで語源はあまり説明されなかったような気がする。今の辞書でひくと「対数」と訳語が出てくるけど、もともとはラテン語だかギリシア語だかからネイピアという昔の人が作り出した造語だったらしく、ロゴス(比)+アリスモ(数)=ロガリズム(比例する数)「比数」という意味合いだったらしいと何かで読んだ。それを何故対数と訳してそれが定着したかというのも不思議だけど語源は知らなくてもいいとして、logはログと読んでここから対数ですよっていうことを示す記号ということになるだろう。つまりまとめると


     こんな感じで、左辺全体が対数で、パーツに分けると記号と底と真数がある。底というのは
    なんとかの何乗、みたいに書いたときのなんとかも底だけど、こちらは指数の底とでもいうべきだろうから対数記号の次に書くときは「対数の」底と思った方が混同しないでいいかもしれない。「真数」という呼び方は高校時代習った記憶が無いのだけど、どの本を見ても書いてあるみたいだからその日は休んだかサボったかしたんだろう。

     だから上の式のイコールの左側も右側も同じものだから当然だけどどっちも対数で、
    左辺は記号で表現した対数、右辺は具体的な数値にした対数ということかな。で、その数値を昔は底が10の常用対数であれば対数表で調べていたというわけだろう。今は電卓もしくはパソコンで出るけど。

     値で表した対数、例えばlog103=0.4771(ミドモワシナナイ)の右側にはもう少し呼び方があって、
     対数表には 真数が1から10の手前の9・99(4桁対数表なら9.999)までしか出ていないのだけど、真数が3の時は表から0.4771と読み取れるけど真数が0.3だったり30だったり300だったりすると表には出ていない。この時どうするか。

     常用対数だと以下のように値を求めることができる。

     log100.3=log103×0.1)=log103+log100.1

      0.1は10のマイナス1乗でlog1010=1だから
     ログの中身が、じゃなくて真数がなんとかの何乗という形で書かれている時はその指数を
    logの前に出すことができる計算法則があったので

    なので


                     =log103-log1010=0.4771-1

    マイナス1と0.4771を計算しちゃうとかえってわかりにくくなるので、
    -1+0.4771ですよ、という意味で昔は1の上に横棒を引いて

     みたいに書いたりもしたらしい(最近の本では見かけない)。同様に  

    log1030=log10(3×10)
        =log103+log1010=0.4771+1=1.4771  
    log10300=log10(3×100)
        =log103+log10100=0.4771+2=2.4771   

     みたいになって、
     表から引いてきた真数3に対する .4771 という小数点以下の部分はみな同じで、
    これに真数が3に10の何乗かけてあるかによってその何乗分、という-1とか1とか2とかの値がつく。




     この.4771みたいなところを仮数(かすう)と呼び、-1や1や2にあたるところを指標(しひょう)と呼んだりしたらしいけど今はあまりそういう言葉は使わないらしい。ゆとり教育のせいかは知らないけど、まあ知らなくても困らない人が圧倒的に多いかも。私も知らなかったけど困らなかった。    

     とりあえずそんなところで。

     ちょっとlog1010の底を小さくする表記する方法を覚えたので
    log⑩10みたいな表記は今後しないつもりですが、既に書いた分を遡って直す元気は無いので学校とかでlog⑩10とかは書かないのがいいと思います。




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