愚考 天文計算みたいなもの

・指数と対数について調べると、これらが天文計算や航海術にものすごく役立ったようなことがよく書いてある。でも数学の本に出て来る例題とかに、どういう計算が楽になったのか、具体的に掲載されていない。

　何かそういうのが無いかな、と思っていたけどネットでたまたま見つけたのでちょっとやってみる。

地球から太陽までの距離は，地球から月までの距離の約何倍か求めよ．

　理科年表で見ると地球から月までは　３８４４００ｋｍとある。３8万キロメートルちょっと。　宇宙戦艦ヤマト第一話冒頭で「３時の方向に敵。距離１０万キロ」とか言ってたっけ。


　一方太陽までの距離はこんな感じ。最小、最大、その間と三種類の値が出ている。


　地球の軌道は完全な円というわけで楕円形で、距離も常に一定というわけではなくて微妙にふらふらして太陽に近くなったり遠くなったりということでそうなるのだろう。
　一方で一番左に軌道長半径（天文単位）という欄があって、ここが1.0000となっている。
　NASAのHPで天文単位『au (Astronomical Unit)』を調べ、グーグル翻訳すると

　ということで、つまり地球～太陽間の平均距離をひとつの基準として使っているということらしい。厳密にはメートル原器やキログラム原器が今は使われていないみたいにauの定義は太陽地球間の距離ではなくなっているみたいだけど、ここではあまりそこはつっこまないことにする。
　数値のまるめかたにはいろいろあるだろうけど、NASAの「およそ１５００億メートル」を採用することにする。一方月までの距離は簡単のため３８万キロメートルとする。
　単位をｋｍに揃えると
　１５００億メートル→１．５億キロメートル　→１５０,０００,０００キロメートル
　３８万キロメートル→　　　　　　　　　　　　　　　 ３８０,０００キロメートル

　だけどこのまま1500000000÷380000を計算するのはできないことないけどちょっとめんどい。8桁の電卓だとオーバーしてしまう。12桁とかなら大丈夫だけど。

　そこで指数を使って表現すると　

　１５０,０００,０００ 　→　１．５×１０の８乗
　　　　 ３８０,０００　 →　３．８×１０の５乗

　すると　1500000000÷380000　→　１．５÷３．８　×１０（８ー５）乗

　１．５÷３．８×１０００＝０．３９４７３６８・・・×１０００＝３９４．７３・・・

　で約３９５倍となる。この場合は百円ショップで買える電卓で十分計算できる。天文計算とはいえない低レベルのものなんだろうけどまあ個人の興味でやってることなので。

　ぎりぎり１２桁電卓でもできる範囲なのでいまいちありがたみが感じきれないけど、これがリュウグウまで、とか木星までとか冥王星まで、とかなってくるといろいろありがたくなってくるのだろう。

　指数表記のありがたみはちょっとわかったが、対数表記のありがたみがわかるような天文っぽい例題はまだ見つけられてない。見つけたらまた。