愚考 完全四角形
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愚考 完全四角形

2019-06-15 19:00
    ・数学者の岡潔さんは「完全四辺形の三つの対角線の中点は同一直線上にある」という問題を旧制の高校1年だった時に考え続けて鼻血を出したとエッセイ「春宵十話」に書いている。

     これが何を言っているかわからない。完全四辺形って何?ネットで調べてみると


     みたいな感じで完全四角形というのと完全四辺形というのがあるらしい。

     平行四辺形というのは小学校で習うけど、平行じゃない四辺形というのは習った事無かった。左側の図のように4つの辺がいずれも平行じゃない四角形もあり、ということになると、右側の図のように凹がある四角形もありということになる。でもこれを四角形と言い張ると、
    小中学校レベルで四角形の性質と言ってるものに当てはまらないものが出てきちゃったりするので数学教育では特に話題にしないらしく、凹四角形(おうしかくけい)と呼ぶこともあるんだけどなるべく四角形とは言わずに四辺形と呼ぶみたい。
     でも平行四辺形は四角形の仲間として習ったような。まあこれは日本語に訳したときのセンスの問題だろうから今更あれこれいっても何だけど、平行四辺形を二平行線四角形、台形を一平行線四角形とでも呼んでいたらもっとスッキリしたかもしれない。するといわゆる何でもない四角形、(不等辺四辺形という用語もあるらしいけど)は零平行線四角形ということになって、分類がなんとなく合理的に思えるかも。

     今その何でもない四角形で上の完全四角形の定義を考える。イラストが小さいので大きいのを持ってくる。左が完全四角形の図。普通は四角形というと右の図。何が違うでしょうか。


     数学の世界で「直線」というと、本当は無限に長さを持った線のことで、右の図のような
    四角形の周囲にある切れた線は「線分」というのが本当ですよ、ということになっていて、CADなんかでも直線だとどこまで画面を動かしても線が引いてあったりする。
     でもそうはいっても学校の先生だってだんだん「直線」も「線分」も一緒くたで「線」と言いたくなっちゃうと思う。直線定規をわざわざ線分定規と呼んだりもしない。有限のものを直線と呼んでしまう感覚は世間にいまさら是正できないくらいみっちゃんみちみちあふれているからこれを問題視しても仕方がない。じゃあ俺たち数学者は、本来の意味で無限の直線でできた図形を呼ぶときは「完全」をつけて完全四角形みたいに呼ぼうぜ、ということみたい。
     無限に線を伸ばしていくわけだから、これを「無限遠点を付加された射影平面」という、私には上手く説明できないけどどこまでもペタンとした平面じゃなくて、曲がった空間において平面を考えると平行線というのが無限のどこかで交わって必ず線が(直線が)4本なら四角形が(完全四角形が)できるということみたい(複数の線が同じ点で交わる場合は多分除くんだろう)。
     その交わり方を関係がわかるように無限の遠くから持ってきましたよ、というのが左の図の完全四角形ということみたい。交わりの関係性だけわかればいいので、本当は
     B→A→その向こうに無限とかB→P→その向こうに無限
     に線は引かれていくわけだけど、四角形の性質を考える上では書いても書かなくても関係ないので「完全」と言いつつ省略するけどそこはやじさんきたさんみたいに言葉尻をとらえて突っ込まないでね、ということなんだろう。
     
     ということで数学の専門家からは鼻で笑われちゃいそうだけど自分なりに完全四角形はそれでいいことにして、完全四辺形はそのうち。
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