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愚考 ピタゴラス数
2019-09-06 19:00
・こんな漫画を描いてみたのでちょっと補足的に。
・直角三角形の三辺の長さが全部自然数の比になる場合、この自然数の組み合わせを
ピタゴラス数と言うんですって。中学校の頃はそうは習わなかったので知ったのは社会人になってからだけど。
つまり直角三角形の三辺の長さをそれぞれ a、b、c ということにして一番長い斜辺とかいうのの長さがｃということにすると、
ａの二乗＋ｂの二乗＝ｃの二乗
を満たす自然数の組（ａ、ｂ、ｃ）を３つまとめてピタゴラス数と言うみたい。
（３、４、５）という組み合わせがそうであることが有名で、古代エジプトでこれを利用して測量してた、みたいなことも何かで読んだ。
これ以外にもピタゴラス数があるのか、というとあって、無限にあるらしくて求めるための計算式もあるらしいけど、もし自分が昔の人だったらどうやって探したかな、ということを考えてみる。
とりあえず１から１０までの場合を考えてみる。それぞれの二乗は
１の二乗＝１
２の二乗＝４
３の二乗＝９
４の二乗＝１６
５の二乗＝２５
６の二乗＝３６
７の二乗＝４９
８の二乗＝６４
９の二乗＝８１
１０の二乗＝１００
例えば３の二乗＝９が斜辺の長さの二乗だったとすると、残りの二辺の長さは３より短い１と２にならざるを得ない。でも１の二乗＋２の二乗＝１＋４＝５で９とはイコールでない。
４の二乗＝１６が斜辺の長さだとすると、残りの二辺の二乗は１か４か９から二つ選ぶことになる。でも１＋４＝５でも１＋９＝１０でも４＋９＝１３でも１６にはならない。
５の二乗＝２５が斜辺の長さだとすると １か４か９か１６から二つ選ぶことになる。
１＋４＝５ ダメ、１＋９＝１０ ダメ、 １＋１６＝１７ ダメ。
４＋９＝１３ ダメ、４＋１６＝２０ ダメ。
９＋１６＝２５ おっ、オッケーじゃん、と一つ見つかった（最初から知ってたけど）。
６の二乗、７の二乗、とこんな感じで辛抱強くしらみつぶしに計算しながら確かめていけば見つけられそうだ。と思って昔はこれに一生を費やしたような人もいるのかもしれない。
もうちょっとそれっぽく表にしてみる。横にa、縦にb（タテヨコはどちらでもいいんだけど）の長さとそれを二乗したものを並べて、aの二乗＋ｂの二乗を計算した表を作ってみる。とこんな感じ。
![]()
上の表の数字を開平して、その結果がきれいに自然数になるところを黄色く目立つようにするとこんな感じになる。
![]()
すると
３の二乗 （９）＋ ４の二乗 （１６）＝ ５の二乗 （２５）
５の二乗 （２５）＋１２の二乗（１４４）＝１３の二乗（１６９）
６の二乗 （３６）＋ ８の二乗 （６４）＝１０の二乗（１００）
８の二乗 （６４）＋１５の二乗（２２５）＝１７の二乗（２８９）
９の二乗 （８１）＋１２の二乗（１４４）＝１５の二乗（２２５）
１２の二乗（１４４）＋１６の二乗（２５６）＝２０の二乗（４００）
１５の二乗（２２５）＋２０の二乗（４００）＝２５の二乗（６２５）
の組み合わせ、（３，４，５）（５，１２，１３）（６，８，１０）（８，１５，１７）
（９，１２，１５）（１２，１６，２０）（１５，２０，２５）
がこの範囲でのピタゴラス数ということになる。
もう少し言うと（３，４，５）と（６，８，１０）とか（９，１２，１５）とか（１２，１６，２０）とか（１５，２０，２５）なんかは比率としては同じものを２倍、３倍・・・としていった関係にあるので数学をちゃんとやる人は同じものとして扱うそうで、この場合の（３，４，５）みたいに最小公倍数が１のものを原始ピタゴラス数と呼んだりするらしい。
すると先ほどと同じ範囲内の原始ピタゴラス数は
（３，４，５）（５，１２，１３）（８，１５，１７）の３組しかないことになる。
ものの本にはこの原始ピタゴラス数だけ考えればいいよ、と書いてあるんだけど、
（６，８，１０）なんかは斜辺の長さが１０もしくは１の直角三角形を作図することなんかができて知っていても損にはならない気もする。
漫画にも描いたように、このピタゴラス数を求める式というのがあるらしい。
![]()
この式の導出はチラっと見てみたけどちょっと難しい。中学生時代の私だときつそう。かしこい高校生であればできるかも。
この公式を使うと全ての原始ピタゴラス数を計算結果として求められるらしいが、
（６，８，１０）や（９，１２，１５）といった（３，４，５）と比率関係が同じもの（つまり原始じゃないピタゴラス数）はダメらしい。確かめてないけど。
もっと詳しく出ているＨＰ。
https://mathtrain.jp/pythagoras
https://gamethankyou.com/science/math/pythagorean-number/
・直角三角形の三辺の長さが全部自然数の比になる場合、この自然数の組み合わせを
ピタゴラス数と言うんですって。中学校の頃はそうは習わなかったので知ったのは社会人になってからだけど。
つまり直角三角形の三辺の長さをそれぞれ a、b、c ということにして一番長い斜辺とかいうのの長さがｃということにすると、
ａの二乗＋ｂの二乗＝ｃの二乗
を満たす自然数の組（ａ、ｂ、ｃ）を３つまとめてピタゴラス数と言うみたい。
（３、４、５）という組み合わせがそうであることが有名で、古代エジプトでこれを利用して測量してた、みたいなことも何かで読んだ。
これ以外にもピタゴラス数があるのか、というとあって、無限にあるらしくて求めるための計算式もあるらしいけど、もし自分が昔の人だったらどうやって探したかな、ということを考えてみる。
とりあえず１から１０までの場合を考えてみる。それぞれの二乗は
１の二乗＝１
２の二乗＝４
３の二乗＝９
４の二乗＝１６
５の二乗＝２５
６の二乗＝３６
７の二乗＝４９
８の二乗＝６４
９の二乗＝８１
１０の二乗＝１００
例えば３の二乗＝９が斜辺の長さの二乗だったとすると、残りの二辺の長さは３より短い１と２にならざるを得ない。でも１の二乗＋２の二乗＝１＋４＝５で９とはイコールでない。
４の二乗＝１６が斜辺の長さだとすると、残りの二辺の二乗は１か４か９から二つ選ぶことになる。でも１＋４＝５でも１＋９＝１０でも４＋９＝１３でも１６にはならない。
５の二乗＝２５が斜辺の長さだとすると １か４か９か１６から二つ選ぶことになる。
１＋４＝５ ダメ、１＋９＝１０ ダメ、 １＋１６＝１７ ダメ。
４＋９＝１３ ダメ、４＋１６＝２０ ダメ。
９＋１６＝２５ おっ、オッケーじゃん、と一つ見つかった（最初から知ってたけど）。
６の二乗、７の二乗、とこんな感じで辛抱強くしらみつぶしに計算しながら確かめていけば見つけられそうだ。と思って昔はこれに一生を費やしたような人もいるのかもしれない。
もうちょっとそれっぽく表にしてみる。横にa、縦にb（タテヨコはどちらでもいいんだけど）の長さとそれを二乗したものを並べて、aの二乗＋ｂの二乗を計算した表を作ってみる。とこんな感じ。
上の表の数字を開平して、その結果がきれいに自然数になるところを黄色く目立つようにするとこんな感じになる。
すると
３の二乗 （９）＋ ４の二乗 （１６）＝ ５の二乗 （２５）
５の二乗 （２５）＋１２の二乗（１４４）＝１３の二乗（１６９）
６の二乗 （３６）＋ ８の二乗 （６４）＝１０の二乗（１００）
８の二乗 （６４）＋１５の二乗（２２５）＝１７の二乗（２８９）
９の二乗 （８１）＋１２の二乗（１４４）＝１５の二乗（２２５）
１２の二乗（１４４）＋１６の二乗（２５６）＝２０の二乗（４００）
１５の二乗（２２５）＋２０の二乗（４００）＝２５の二乗（６２５）
の組み合わせ、（３，４，５）（５，１２，１３）（６，８，１０）（８，１５，１７）
（９，１２，１５）（１２，１６，２０）（１５，２０，２５）
がこの範囲でのピタゴラス数ということになる。
もう少し言うと（３，４，５）と（６，８，１０）とか（９，１２，１５）とか（１２，１６，２０）とか（１５，２０，２５）なんかは比率としては同じものを２倍、３倍・・・としていった関係にあるので数学をちゃんとやる人は同じものとして扱うそうで、この場合の（３，４，５）みたいに最小公倍数が１のものを原始ピタゴラス数と呼んだりするらしい。
すると先ほどと同じ範囲内の原始ピタゴラス数は
（３，４，５）（５，１２，１３）（８，１５，１７）の３組しかないことになる。
ものの本にはこの原始ピタゴラス数だけ考えればいいよ、と書いてあるんだけど、
（６，８，１０）なんかは斜辺の長さが１０もしくは１の直角三角形を作図することなんかができて知っていても損にはならない気もする。
漫画にも描いたように、このピタゴラス数を求める式というのがあるらしい。
この式の導出はチラっと見てみたけどちょっと難しい。中学生時代の私だときつそう。かしこい高校生であればできるかも。
この公式を使うと全ての原始ピタゴラス数を計算結果として求められるらしいが、
（６，８，１０）や（９，１２，１５）といった（３，４，５）と比率関係が同じもの（つまり原始じゃないピタゴラス数）はダメらしい。確かめてないけど。
もっと詳しく出ているＨＰ。
https://mathtrain.jp/pythagoras
https://gamethankyou.com/science/math/pythagorean-number/
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