愚考 ピタゴラス数
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愚考 ピタゴラス数

2019-09-06 19:00
    ・こんな漫画を描いてみたのでちょっと補足的に。


    ・直角三角形の三辺の長さが全部自然数の比になる場合、この自然数の組み合わせを
    ピタゴラス数と言うんですって。中学校の頃はそうは習わなかったので知ったのは社会人になってからだけど。

     つまり直角三角形の三辺の長さをそれぞれ a、b、c ということにして一番長い斜辺とかいうのの長さがcということにすると、

     aの二乗+bの二乗=cの二乗  

     を満たす自然数の組(a、b、c)を3つまとめてピタゴラス数と言うみたい。

     (3、4、5)という組み合わせがそうであることが有名で、古代エジプトでこれを利用して測量してた、みたいなことも何かで読んだ。

     これ以外にもピタゴラス数があるのか、というとあって、無限にあるらしくて求めるための計算式もあるらしいけど、もし自分が昔の人だったらどうやって探したかな、ということを考えてみる。
     
     とりあえず1から10までの場合を考えてみる。それぞれの二乗は

    1の二乗=1
    2の二乗=4
    3の二乗=9
    4の二乗=16
    5の二乗=25
    6の二乗=36
    7の二乗=49
    8の二乗=64
    9の二乗=81
    10の二乗=100

     例えば3の二乗=9が斜辺の長さの二乗だったとすると、残りの二辺の長さは3より短い1と2にならざるを得ない。でも1の二乗+2の二乗=1+4=5で9とはイコールでない。

     4の二乗=16が斜辺の長さだとすると、残りの二辺の二乗は1か4か9から二つ選ぶことになる。でも1+4=5でも1+9=10でも4+9=13でも16にはならない。

     5の二乗=25が斜辺の長さだとすると 1か4か9か16から二つ選ぶことになる。
    1+4=5 ダメ、1+9=10 ダメ、 1+16=17 ダメ。
    4+9=13 ダメ、4+16=20 ダメ。
    9+16=25 おっ、オッケーじゃん、と一つ見つかった(最初から知ってたけど)。

     6の二乗、7の二乗、とこんな感じで辛抱強くしらみつぶしに計算しながら確かめていけば見つけられそうだ。と思って昔はこれに一生を費やしたような人もいるのかもしれない。

     もうちょっとそれっぽく表にしてみる。横にa、縦にb(タテヨコはどちらでもいいんだけど)の長さとそれを二乗したものを並べて、aの二乗+bの二乗を計算した表を作ってみる。とこんな感じ。



     上の表の数字を開平して、その結果がきれいに自然数になるところを黄色く目立つようにするとこんな感じになる。


     すると
     3の二乗  (9)+ 4の二乗 (16)= 5の二乗 (25)
     5の二乗 (25)+12の二乗(144)=13の二乗(169)
     6の二乗 (36)+ 8の二乗 (64)=10の二乗(100)
     8の二乗 (64)+15の二乗(225)=17の二乗(289)
     9の二乗 (81)+12の二乗(144)=15の二乗(225)
    12の二乗(144)+16の二乗(256)=20の二乗(400)
    15の二乗(225)+20の二乗(400)=25の二乗(625)

     の組み合わせ、(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)(8,15,17)
    (9,12,15)(12,16,20)(15,20,25)
    がこの範囲でのピタゴラス数ということになる。
     もう少し言うと(3,4,5)と(6,8,10)とか(9,12,15)とか(12,16,20)とか(15,20,25)なんかは比率としては同じものを2倍、3倍・・・としていった関係にあるので数学をちゃんとやる人は同じものとして扱うそうで、この場合の(3,4,5)みたいに最小公倍数が1のものを原始ピタゴラス数と呼んだりするらしい。

     すると先ほどと同じ範囲内の原始ピタゴラス数は
    (3,4,5)(5,12,13)(8,15,17)の3組しかないことになる。
     ものの本にはこの原始ピタゴラス数だけ考えればいいよ、と書いてあるんだけど、
    (6,8,10)なんかは斜辺の長さが10もしくは1の直角三角形を作図することなんかができて知っていても損にはならない気もする。

     漫画にも描いたように、このピタゴラス数を求める式というのがあるらしい。


     この式の導出はチラっと見てみたけどちょっと難しい。中学生時代の私だときつそう。かしこい高校生であればできるかも。
     この公式を使うと全ての原始ピタゴラス数を計算結果として求められるらしいが、
    (6,8,10)や(9,12,15)といった(3,4,5)と比率関係が同じもの(つまり原始じゃないピタゴラス数)はダメらしい。確かめてないけど。

     もっと詳しく出ているHP。
    https://mathtrain.jp/pythagoras

    https://gamethankyou.com/science/math/pythagorean-number/

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