三角ナントカ
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三角ナントカ

2019-12-28 19:00
    ・中学だか高校だか正確に覚えてないけど、数学で三角ナントカに苦しめられた。

     なんで苦しんだんだろう、と今思い起こすとこのへんがアレだったな、というのがいくつか思い当たる。そんなことをつらつらと。

     最初に三角比というのが出てきたはず。直角三角形の辺の長さにはいわゆるピタゴラスもしくは三平方の定理の関係があって、直角でない角の角度が一つ決まればもう一個の角の角度も自動的に決まって三辺の辺の長さの比も決まる。
     三角定規になっている30度、60度、直角の三角形の場合はルート3が出て来るし、45度、45度、直角の場合はルート2が出て来る。

     というあたりまではよかったんだけど、こういう直角三角形の各辺の長さの比を三角比というのかと思っていたらそこから突然sin とかcos とかtan という記号が出てきてこいつらが三角比だということになってしまう。
     で、こいつらは何だ?と思っているうちに三角関数というのになって、
    sin、cos、tanとかの記号はしれっとこの三角関数のために記号だ、みたいになっちゃうんだけど、あれ、こないだまでこうした記号の入ったいろんな計算規則とかやってたよね、カホウテイリとかセイゲンテイリとか、と思うとそうした計算式が三角関数の一部なのか三角比の拡張なのかわからない。三角比の記号で三角関数作るの?と混乱する。
     なんか突然ギアチャンジしたようで当時いまいちよく納得できなかったのだった。
     サインとかコサインとかに関する定理や計算式みたいのが何段階にもあちこちで出てきて、どこ見返せばいいんだっけ?と思ったような記憶もある。

     ということで、直角三角形の辺の長さの比が直角じゃない角の大きさで決まっちゃうんですよ、ということを教えた後に、その辺同士の大きさの関係を示す記号があるんですよ、と
     三角記号とでも名前をつけてサインコサインタンジェントが出るならわかったのに、と思う。なんかきちんと紹介されないうちにこの記号がいつのまにか居座ったような。

     つまり 三角定規のような直角三角形の辺はこんな長さの比になるんですよと言ってからそれぞれの辺の長さの比としてサインとかコサインとかタンジェントとかを決めると便利なのでそうします、具体的な値は例えば sin30°=1/2=0.5です みたいにやって、直角三角形であれば30°の代わりにどんな角度を与えても、その角度をΘと仮に表すならsinΘはこことここの辺の長さの比になります、みたいに持って行ってほしかったんだけど、もしかしたらそう言ってくれていたのかもしれないけど二度言われなかったのでわからなくなったのだっが。


    (この時両端の60度30度直角の三角形の1と真ん中の45度45度直角三角形の1とは必ず同じ長さというわけではなくて、それぞれの三角形の辺の長さ比の基準というだけなのが図だけだとわかりにくい。教科書ではそこも揃えて書いたりするけど、

    たいての三角定規はそういう大きさ比じゃないからこれも子供によっては混乱する。

     この直角三角形に名前が無いのも呼びにくい。両端のは正三角形の半分、真ん中のは正方形の半分なんだからハンサンとかハンヨンとかあだ名つけたらだめかな。名前を呼べないと魔法使いも呪えないから名付けたい)

     もう一つ、直角三角形の各頂点の角や各辺の呼び名も決めておいた方が式など書くときに誤解しにくい。
     上の図みたいに各頂点にA、B、Cとか名前つけて辺ABとか呼んだりするけど、三角形のどの点を最初にAにして、そこからどっちまわりにB、Cとするかも教科書や参考書、市販の本でけっこう違ったりする。左端の頂点がAだったり上の頂点がAだったり時計回りだったり反時計回りだったりA、B、Cじゃなくてa、b、cだったり。かといって絶対こういう記号のつけ方でないとダメ!と決めちゃうのも堅苦しい。
     こういうのもわからない子供にはわからなくなるのでまだ各部に名前があった方がつかみやすいのではと思う。

     本によっては斜辺、隣辺、対辺という呼び方をしているものもある。斜辺はともかく、隣辺と対辺は直角じゃないどちらの角を選ぶかで違ってしまうのでこう呼ぶならこの辺の呼び方を決める基準となる角(頂点)にも名前をつけたい。名前がないとこのへんの説明が子供にはわからないくらいまどろっこしくなるし、記号が苦手な子はここで落ちこぼれる。

     というわけでサインなりコサインなりを考える基準となる角(頂点)は基準角、残った直角じゃ無い方の角は残角、みたいに仮に決めてこんな名前をつけてみる。ついでにハンサンの場合置き方に二通りあるので仮に水平配置、垂直配置とでも名前をつけてみる。
    (勝手に名前をつけたので先生に答える時やテストに使っちゃダメですよ)



     こうやっておくと 三角記号 サイン、コサイン、タンジェントがシンプルに定義できる。
     辺の名前(長さ)をABとかACとかで表わしてそれを分母にしたり分子にしたりよりは

     基準角をθとしたときに 三角記号サイン、コサイン、タンジェントというものを
    次のように決めると便利なのでそういうことにする。

     サインθ   =対辺(の長さ)/斜辺(の長さ)
     コサインθ  =隣辺(の長さ)/斜辺(の長さ)
     タンジェントθ=対辺(の長さ)/隣辺(の長さ)

     となって斜辺は必ず分母で対辺は必ず分子で隣辺は分子にも分母にもなるんだな、と、
    本によって命名ルールが異なる記号で覚えさせるより気付きもあるんじゃないかな。

     こうすると例えば基準角30度の時sinは、対辺を斜辺で割って1÷2=0.5
    みたいに言いやすくなるんじゃないかな。言えないものはなかなかわからない。
     記号だけではイメージをつかめない子にわかりやすくならないかな。

     三角定規も何故かハンサンの基準角60度の対辺(基準角30度の隣辺)とハンヨンの斜辺が同じ長さになるように作ってるみたいだけど、上の引用した図みたいに

     ハンヨンの隣辺=ハンヨンの対辺=ハンサンの基準角30度の対辺

     みたいな大きさ比や、ハンサンとハンヨンの斜辺が同じ長さのを作って斜辺が三角比を円で拡張したときに円の半径になる、みたいのを説明しやすいものを作ってもいいんじゃないかと思う。と出来の悪かった数学素人は思ったりする。
     タワゴトですから専門家の人石を投げないでください。
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