三角関数のここが納得できない
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三角関数のここが納得できない

2019-12-29 19:00
    ・三角関数には初めて出会った時からそこはかとない疑惑がある。いわゆる三角関数のグラフを見ると、サインとコサインの場合は波みたいな形。正弦波とかも言われている。
     タンジェントは1本の線でつながっていない、無限大・無限小の概念を含む関数で、なんとも表現しがたい形だが、無限になる部分に縦線を引くことも多く、私にはなんとなく十字手裏剣みたいに見える。
     つまりどこにも三角形を思わせる部分が入っていない。直角三角形の辺の長さの比からはじまるから三角ナントカ軍団のラスボスらしい三角関数のグラフに三角形を見出せないことはフにおちないものを感じてしまう。

     実際には直角三角形の斜辺を円の半径とみなすと直角を超えた角度を持つ三角形にも(もはや三角形とは言えないものに成り果てるが)三角比みたいなものが定義できて、直角三角形の時と同じようにサインとかコサインとかタンジェントとかの計算規則があてはまって便利なのでこういうのも三角比の仲間に入れよう、みたいな裏取引があって三角関数と言い張るもののグラフにつながるのだが、名を捨てて実をとったのかその逆なのか、三角形という実体を失ったのに三角関数と三角の名前だけが残っている。

     電力柱なのに電信柱とか、パソコンで書いているのにペンを取ったり置いたりと書くとか、もう計算尺を作っていないのにヘンミ計算尺という会社名だとか首なし美人とかスマホをダイヤルするとか、実態と名称が合ってないものがあるのは世の習いなのでわかるんだけど、最初から正弦波関数とか手裏剣関数とか言ってくれたらもう少し戸惑わなかったかもしれない。

     とにかく今まで三角形の辺の長さの比として扱っていたサインとかコサインとかタンジェントとか(こういうのを三角比と呼ぶことになっているけどどうも記号と結びつかないのでまとめて三角記号とでも呼びたい)が円周上の点の座標と関連する関数に拡張できるんですよ、というところの落差が大きくて飛び越えそこなった気がする。

     記号の扱いにも納得しがたいものがあって、今までsinθと書いていたのがページをめくると突然sinxになっていたりする。このxが時間を示す、といきなりtになったりもする。
     シータがエックスやティーに突然変わったらバズーだって混乱するはず。私は混乱したぞ。でも何の断りもなかったはず。サボっていたから気付かなかっただけかもしれないけど。

     さらにy=sinxのグラフとy=cosxのグラフが並べて描いてあったりする。そしてコサインのグラフはサインのグラフを二分のパイだけ左に平行移動したものだと書いてあったりする。こういうのが覚えられない。どっちを基準にしてどっちをどの方向にどれだけ動かすか、というのは私みたいな子供にはうまく把握できなかった。

     こうされると、グラフの図形的な意味が見えにくくなると思う。こうなるまでにはいくつか飛躍があるのだけどそれが全部省略されてしまっている。

     直角三角形がある。
     直角三角形の各辺の長さの比は、基準角によって定まり三平法の定理の関係にある。
     ※基準角というのは私が勝手に作った用語。昨日のブロマガで決めた。

     直角三角形の斜辺を半径とする円を考える。
     すると円周上の点の座標が半径と基準角と三角記号で表せる。
     ※三角記号というのは私が勝手に作った用語。昨日のブロマガで決めた。

     基準角が90度を超えても180度を超えてもこのことは変わらない。
     基準角が360度を超えても変わらなくて、循環して同じことの繰り返し。

     半径を1としておけば、余分な数字が一つ減るのでそうする。
     すると円周上の点の座標はコサイン基準角、サイン基準角になる。
     基準角をθという記号で表すことにする。
     座標はふつう(x,y)で表すから x=cosθ、y=sinθということになる。
     θが零のときはx=1でy=0になり、90度の時はx=0でy=1になる。
     半径を1としたわけだから、cosθもしくはsinθは0から1の範囲で変化する。
     円周上の点が反時計回りに移動していくと(θが大きくなる方向に変化していくと)、
     cosθであるxとsinθであるyも変化していく。

     ということで、最初は直角三角形で定義した三角記号が、円周上の座標と半径で再定義されているんだけど、そこをさらっと通過してしまって三角比からポンといわゆる三角関数のグラフにとんでしまったような印象を持っている。

     それで突然こんなグラフが出てきてしまう。これが私を混乱させた元だと思う。



     数学の専門家や愛好家が読む本ならいいんだけど(出典元はそういう本なのでいいんだけど)、最初に三角関数を習う相手にうかつにこういうグラフを見せてしまうと、サインのグラフとコサインのグラフの関係がよく見えない。
     それでコサインのグラフはサインのグラフをマイナス90度平行移動したものです(科学技術分野によっては位相がずれていますとかいう概念になる)なんてことをついでのように言われるんだけど、どっちが基準でどっちがどっちの方向にどれだけずれているんだかすぐわからなくなってしまう。さっきまでθだったのにいきなりxになっているし。
     何度、という表記をパイを使ったいわゆるラジアン表記に読みかえることもこうした話のついでみたいに出てきたと思うので、強敵を二つ相手にする二正面作戦みたいな気がしてよくわからなかった。三角関数のグラフの導出中に度をラジアンに変えるんじゃなくて、度で説明しきってからラジアンに読み替えるみたいにしてくれれば各個撃破できたと思う。

     マイナス90度平行移動とか言うけど(ラジアン表記だと マイナス パイ/2 だけど) それならどっちのグラフもマイナスパイからちょっと左から(目盛りが無いけどたぶんマイナス二分の三パイ)から2パイのちょっと右(同じく二分の五パイ)の範囲で描かれているけど、始まりと終わりの位置がずれてないとおかしいんではないか、とか思ってしまう。
     安定した状態で、左も右も無限に続いているものの一部を取り出したということなんだろうけどなんか意味がつかみにくい。

     ここは円で三角記号を再定義したということは、sinθは縦方向の長さというか目盛りであってcosθは横方向の長さというか目盛りであって、並べてしまうと同じ方向から観察しているみたいな気がするけどサインとコサインは実はこんな図のような関係にあって



     こういう図があると円の半径が1だったとしたら、矢印の方向にθという角度だけ円周上の点の座標が原点である(1,0)から移動していくと考えてその座標をθで表わすときには
    ワイ座標、縦向きの長さはy=sinθで、エックス座標、横向きの長さはx=cosθだな、
    だから円周上の点が矢印の方向、反時計回りに移動していくとゼロから半径の値の範囲で変化していくんだな、θがゼロの一番最初の値はヨコに1でタテに0だからサインのグラフは0から始まるしコサインのグラフは1から始まるんだな、コサインがサインの最初の値0になるのはシータが90度の時で、コサインはサインの値を直角の分、90度分遅れて追いかけているんだな、というのが一目でわかる。
     なんだけどこの図を描いてある教科書は少なくて、たいていコサインのグラフを縦向きから横向きにして、ついでに関数はy=ナントカ と表記するのが普通なもんだからそこはしれっと読者に断り無く直してしまって、こんなふうにいきなり並べて描いてしまう。
     つまり変位量エックスが突然ワイになってしまう。というか最初からこう出て来るので
    x=cosθだったことを意識もしない。



     これだとサインとコサインがもともと直角にずれた視点で見たものだったことがピンとこない。ピンとこなくても三角関数のグラフが描けたり計算できたりすればいいのかもだけど、私はそこの飛躍で引っかかっっていた。

     で、上の例ではy=sinθとか y=cosθとか シータの関数として描いているんだけど、
    練習問題とかになると突然読者に断り無くシータは抹殺されて

     y=sinx とか y=cosx とか描かれていたりする。

     ということで

    ①サインとコサインの定義を直角三角形ではなくて、原点を中心とする半径1の円(単位円)を使って再定義する。
     円周上の点の位置は半径とx軸が原点で作る角度で決まるので、この角度をθとする。
     
     すると円周上の点の座標は x=cosθ y=sinθ となる。

    ②x=cosθと表される、単位円上の点の x座標を関数表記の都合上 yと読み替える。

    ③θを一般に関数の変数を表すxに置き換えて y=sinx y=cosx と表す。

    ④上記のどの段階かは別として、角度の度数表記をラジアン表記に変える。

     というけっこう大きな飛躍が四つあると思うんだけど、私が見た範囲では教科書や参考書ではそこをさらっと特に飛躍があるよ~と注意も喚起せずに通り過ぎてしまうものが多かった。

    少なくともこの図は入れておいたほうがいいんじゃないかと思う。

     ラジアンの概念も三角関数のついでに教えるんじゃなくて独立して教えた方が混乱しなくて
    わかりやすい気がする。

     こういうことを考えると、教科書は頭のいい学生を相手にしている、細かく説明しなくてもわかってしまった経験を持っている大学教授や数学者だけで書いてはだめで、普通の生徒がどこでつまづくか、という経験をたくさん持っている高校の先生や塾の先生なんかが執筆陣に加わる必要があるんだろうなと思う。

     数学の素人が書いているタワゴトですので専門家の人怒らないでください。
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