ヘロンの公式をいまさら導出する
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ヘロンの公式をいまさら導出する

2020-02-16 19:00
  • 2
https://ch.nicovideo.jp/metabou/blomaga/ar1864780
の続き。

・ヘロンの公式をハロウィンの語呂合わせで無理に苦しく覚えたので、ではこの式はどうやって出てきたの、というのを一応やってみる。
 高校の教科書を最新のものではないけどいくつかのぞいてみると、ヘロンの公式は発展的な学習みたいに公式だけ紹介されていて、導出までは載っていなかった。私が知らないだけで載っているものもあるかもだけど。

 余弦定理の意味を考えたときの図を持ってきて考える。

 三角形を二つの直角三角形に割って、上の図でAという角を基準として考えると、CHという三角形を割った線のことはAの対辺、みたいに呼ぶことになっていて、この対辺の長さは
 bsinA ということになっていたのだった。

 三角形の面積は、小学?中学?で習う 底辺×高さ÷2 で知っている人は多いはず。

 じゃあ、上の図の場合の底辺と高さを考えると
 底辺は c で高さは  対辺の高さになって bsinA  ということになるから
 面積は  cbsinA/2

 ちょっとかっこよく書くとということになる。

 一方で、余弦定理の式
を変形すると
という形にできたのだったから、
 これをうじゅうじゅ変形しているうちにAという角度がa、b、cで表せて、
そのAをの中に入れ込んでやれば角度のAが無くなって辺の長さだけで
三角形の面積が出せるねってのがヘロンの公式かもしれないのということになる。

 実測値で計算するならcosAを出してそれからAを出してそれからsinAを出してもいいのかもだけど、記号式の変形でやる場合はAを出すより
sinAとcosAの間に  という関係があったのでこれを使う方が
楽に変形していけそうだ。とネタ本に書いてあるのでこの方針でやってみる。

(右辺にマイナス符号がつく場合もあり得るけど、三角形の角なので排除)
 ここでcosAをa、b、cの関係式に置き換えて変形していく。


 これでsinAを辺の長さa、b、cだけの式に置き換えて角度を式から消せることになる。

のsinAという部分をこいつに置き換えれば


 と式変形できてきて、中カッコ{}の中身をもう少し変形したいんだけど、
と要素が3つあるとすごくめんどくさいのと参考書をカンニングするとそれだとうまくたどりつかないような気がするのでやりたくない。
 こういうのは因数分解の逆みたいな式の展開というやつで分配法則というやつを順番に適用していけばいいんだけど、ものの本によってはこういう場合も公式みたいに書いてあったりするけどあまり覚えてないのでもう少し楽をしたい。
 中カッコ内は二乗マイナス二乗の形をしていて、「和と差の積は二乗の差」というお約束が
そういえば昔あったはずなので先にそっちを試してみたい。



 ということでこんな感じに。二乗の差を和と差の積で変形して、足し算引き算だけで()内を整理したあとに今度は因数分解してさっきとは異なる二乗の差を作り、これをまたしても和と差の積に変形して形を整え、掛け合わされるどの()の中にもa+b+cが入っているように式を変形していく。
 こういうのは私はまず思いつかないな。昔の人が試行錯誤してたどり着いたものなんだろう。もしかしたら一生考え続けた古代人がいたのかも。ヘロンの公式という名前がついているけど、ヘロンさんが発見したわけではないとかかんとか。

 ここでさっきのルートの中の中カッコ{}の中にこれを戻してもう少し変形する。



 ということで、はもともと三角形の面積だったから
これをSということにしてやれば


 がようやく導きだされた、ということになる。長い道のりでした。
 初見で教わったり参考書を見たりしないでこの導出ができる人はほとんどいないような気がする。

 無理に導出しなくても別にこんな式がある、と思って使えばそれでいいんだけど、趣味だからやってみました。。

 参考書はこちら。
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導出できるか分かりませんが、外接円からのアプローチ(二等辺三角形の総和)も面白そうw
1ヶ月前
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中学生範囲で、三平方の定理だけでもどうにか導出できた記憶があります。
1ヶ月前
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