微分の公式の導出① f(x)=xのn乗
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微分の公式の導出① f(x)=xのn乗

2020-08-04 19:00
    https://ch.nicovideo.jp/metabou/blomaga/ar1908094
    の続き。

     現役の受験生にはそんなことやってんの、とバカにされちゃいそうだけど、私には今微分の公式導出の感覚が無くなってるのでいくつかやってみる。
     導関数の定義式
     に導関数を求めたいf(x)を当てはめて計算していくだけ。ブロマガ上でlimとか分数とか
    表記するのは結構面倒なので、①②③ に分けて分母は、分子は、みたいに手抜き記述する。

    ・f(x)=c(定数)
     数学では定数はcと書かれる。英語で constant(定数) だからみたい。
    constant number みたいに思っちゃうけど、 constantだけで定数らしい。
     大文字なのか小文字なのかとも迷うけど、こんな場合は手元の本では小文字で書いている。
    でも積分になると定数は大文字で書くんだよな。そういう使い分けルールがわからない。
     学生時代は二次方程式のところで 
     y=axの2乗+bx+c みたいにx2乗やxがかからない、定数の項をcとしてたから深く考えないで 定数はcなんだ、と思ってたけど、一次方程式だとy=ax+bでbが定数
    だった。記号を考え出すといろいろスッキリしない。
     ドイツ系の本だと定数がkだったりするらしい。

     余談はさておき、f(x)=cであれば 定義式の
    ①は ()内が何であろうとf()はcで変わらないんだから f(x+Δx)=c
    ②は ()内が何であろうとf()はcで変わらないんだから f(x)=c
    よって分子は f(x+Δx)ーf(x)=c-c=0
    なので定義式の (①-②)/③  部分は (c-c)/Δx =0
    limで極限をとるまでもなく、とったとしても f’(x)=0となる。
     グラフ上ではy=c という水平線になる。水平なので傾きはどこでもゼロになる。

     ちょっと特殊例すぎて公式を導出したぞ、という気がしない。

    f(x)=x

    ①は f(x+Δx)=x+Δx
    ②は f(x)=x
    ①-②=x+Δxーx=Δx
    なので定義式の (①-②)/③  部分は Δx/Δx =1
    limで極限をとるまでもなく、とったとしても f’(x)=1となる。
     

    f(x)=xの2乗  ※ブロマガでは指数を書きづらいので「の2乗」みたいに書きます

    ①は f(x+Δx)=(x+Δx)の2乗  2乗の展開公式くらいは今でも覚えてる。
              = xの2乗+2xΔx+Δxの2乗
    ②は f(x)=xの2乗
    ①-②=(x+Δx)の2乗ーxの2乗
       =xの2乗+2xΔx+Δxの2乗ーxの2乗
       =2xΔx+Δxの2乗
    なので定義式の (①-②)/③  部分は 
    (2xΔx+Δxの2乗)/Δx =2x+Δx
    limで極限をとると Δxはゼロとみなせるので  =2x となる。
    はじめてリミットが活躍した感じ。ちょっと公式を導出したぞ、という気にもなる。

    ・f(x)=xの3乗

    ①は f(x+Δx)(x+Δx)の3乗
       3乗の展開公式なんて覚えてないので力業で展開すると 
    (x+Δx)の3
    =(x+Δx)×(x+Δx)の2
    (x+Δx)×(xの2乗+2xΔx+Δxの2乗)
    =xxの2乗+2xΔx+Δxの2乗)+Δxxの2乗+2xΔx+Δxの2乗)
    =xの3乗+2xの2乗Δx+xΔxの2乗+Δxxの2乗+2xΔxの2乗+Δxの3乗
    =xの3乗+3xの2乗Δx+3xΔxの2乗+Δxの3乗

    ②は f(x)=xの3乗

    ①-②
    xの3乗+3xの2乗Δx+3xΔxの2乗+Δxの3乗xの3
    3xの2乗Δx+3xΔxの2乗+Δxの3乗

    なので定義式の (①-②)/③  部分は
    =(3xの2乗Δx+3xΔxの2乗+Δxの3乗)/Δx
    =3xの2乗+3xΔx+Δxの2乗
    limで極限をとるとΔxもΔxの2乗もゼロとみなせるので  =3xの2乗  となる。

    xとΔxが並ぶと思った以上に見づらくて間違えそう。
    こういう時はΔxじゃなくてhがいいかも。
    指数を手抜き表記したのもさらに見づらさを増している。やめとけばよかった。

    ・f(x)=xの4乗

     ということでこれはもうやめよう。

     c(定数)の導関数が0  
     xの導関数が1
     xの2乗の導関数が2x
     xの3乗の導関数が3xの2乗
     ということで、おそらく

     xの4乗の導関数は4xの3乗  で、
     xのn乗の導関数はnxの(n-1)乗だろう、という気がしてくるよ
    実はそうなんです、
    公式として覚えちゃいましょうとだけ書いてある本もちらほら見かける。

     もう少しこだわる本だとパスカルの三角形とか二項係数とか二項定理とか二項展開とかいうのを説明してxのn乗の導関数はnxの(n-1)乗 になっちゃうことを証明したりする。

     これは小さい文字がいっぱい出てきてブロマガで書こうとすると面倒で書き間違えそうなので、本の引用でごまかすことにする。



     
     (x+Δx)のn乗を展開すると、最終的に欲しいもの以外はΔxを含んでいるので極限を考えるとゼロになって、導関数は nxの(n-1)乗 になっちゃうということですね。
     二項定理は自然数の時にしかうまく使えないらしいので、nが整数や有理数や実数だったりするともっとめんどくさい証明が必要になるみたいだけど私はそこまでパワーないのでスルーします。

     ずいぶん公式を覚えたような気がするけど、じゃあ
    y=2x とか y=axの二乗+bx+c の導関数を求めなさい、つまり微分しなさいとか言われるとこれだけでは手が出ない。
    そこで今度は一緒くたに微分の公式と書いてある場合も多いけど、説明の都合上微分のルールとしたもろもろを考えることに。
       

      



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