【グラブル】数学的観点からのストイベ20箱の必要トリガー数検証
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【グラブル】数学的観点からのストイベ20箱の必要トリガー数検証

2020-08-05 21:00
    ストイベ走ってますか。

    こんばんは、NobNOVAです。
    今回アイマスの話題でもDJの話題でもないのでここに書くべきか正直迷ったのですが、
    隔離するような内容でもないのでこちらに書きます。
    (相当長くなる予定なので、購読されてる方はごめんなさい。
    メール配信可否の設定がありましたので、配信しないことにしました。)
    あと、NobNOVAさんは数学大好き人間なので、
    高校生までの数学を理解できる人であれば、
    今回の話は理解できるかと思います。
    (面白い記事になるとは言っていない。)


    今回はグラブルのストイベと呼ばれる、
    原則月末に行われる新規ストーリーイベントの話です。
    このイベントについては、戦貨ガチャを20箱を掘る方を
    それなりに見かけます。
    もちろんそれには理由があって、

    ・タダでガチャを回せる宝晶石というアイテムが手に入る(最重要
    ・色々な素材を貰えるうえ、それに費やしたAP分のエリクシールハーフが戦貨ガチャを回すことにより帰ってくる
    ・SSR武器やSSR召喚石をそれなりにもらえるので、スキル餌やエレメントの足しにできる

    など、いろいろなメリットがあります。
    (メリットの詳細はここでは省きますので、もっと知りたい方はググるか
    後で私に聞いてください。)


    ただ、この戦貨ガチャを回すためには、VERY HARD(VH)を回して必要なトリガーを集め、
    EXTREME(EX)やHIGH LEVEL(HL)でトリガーを消化して戦貨を集めることが
    必要になります。
    どれだけの時間が必要になるかは、各プレイヤーの戦力に直結する話なので
    一概に言うことは難しいですが、数時間ずっとプレイすることを数日間続けて
    やっと達成できることなので、そこまでの苦労をしてでも宝晶石が欲しいか、
    というところで20箱をやるか否かを判断するといいと思います。


    前置きが長くなりましたが本題。
    まず、前提条件をいくつか決めます。

    ・デイリーミッションでもらえるトリガーは計算に含めない。
    ・救援によりもらえる戦貨は計算に含めない。
    ・トリガーはVHで集め、EXのソロ(もしくは自発かつ毎回MVP)で消費するものとする。
    ・VHで集められるトリガーは、1回につき2個とする。
    ・HELLは出現の度に消化するものとする。
    ・HELLの出現確率は、VHは33回に1回、EXは5回に1回とする。
    ・戦貨ガチャの1箱目から4箱目までは、全て引き切ることとする。

    人によってはHLで救援を出して、HELLの回数を上げるという人もいると思います。
    デイリーミッションにより、HLの需要は常にある状態なので
    選択肢としては悪くないと思います。
    むしろ、フルオートにして待ってる間他のことができたりするので、
    ながら作業向けの方法かなと個人的には思います。
    但し、MVP確定させるなら時間効率は下がり気味になるし、
    最初から救援出すとMVPが難しくなる場合もあります。
    何より、デイリー消化目的でみんなワンパンしたら残りを
    自分だけでHPを減らさなければならないというリスクも常に付きまといます。
    そういう意味では、安定しているわけではないのかなとも思います。
    (これについては個々人のライフスタイルとかもあるので、好きな方法で
    やればいいと思いますが、20箱達成に必要なトリガー数を気にする人が
    安定をとらない理由はないかなと思いますので、今回はEXを周回する方法で
    話を展開することにします。)


    まず、20箱の達成に必要な戦貨ですが、
     1箱目 1198枚
     2箱目 1598枚
     3箱目 1998枚
     4~20箱目 2110枚
     21箱目~ 2104枚(参考)
    以上より、1~20箱目の合計で40664枚必要となります。
    根拠は簡単で、戦貨ガチャのラインナップより各ボックスのラインナップを
    確認できますので、その総数に1回引くのに必要な戦貨枚数の2をかけるだけです。

    次に、各レベルでもらえる戦貨枚数及びトリガー個数の増減の確認です。
     VH(自発MVP) 23枚 + トリガー2個
     EX(自発MVP) 48枚 - トリガー3個
     HELL 100枚 + トリガー2個


    以上を仮定したうえで、VHを自発した回数をx回とします。
    (この仮定により、xは自然数となります。)
    この時、もらえるトリガーは2x個なんですが、
    33回に1回はHELLが出現するため、
    実際には2x+2x/33=68x/33がもらえる個数(の期待値)になります。
    (実際ここで話していることは全て期待値でしかないのですが、
    簡略のため、今後は期待値という記載を省きます。)
    この時にもらえる戦貨は、VHでもらえるのが23x枚、
    HELLでもらえるのが100x/33≒3x枚で、
    合計は約26x枚ということになります。

    実際は、トリガー数も68x/33個として計算すべきではあるのですが、
    ここでは誤差の範囲として、VHをx回消化して得られるトリガーの個数は
    2x個として以降の話を考えます。

    さて、トリガーが2x個あるということは、
    そのトリガーを使って周回できるEXの回数は、当然2x/3回ということになります。
    その時、HELLは2x/9回出現します。

    (個人的にはこの辺りから、どのサイトでもトリガーの個数の根拠について
    記載しない理由が何となくわかってきましたが、頑張ってもう少し続けることにします。)

    このとき得られる戦貨は、EXは2x/3*48=32x枚、
    HELLは2x/9*100=200x/9枚≒22.2x枚、
    合計で約64.2x枚となります。


    話がややこしいのはここからで、HELLを攻略したときにトリガーも落ちますので、
    そのトリガーも戦貨を集めるために必要なものとして考えなければなりません。
    2x/9回のHELLを消化することにより、4x/9個のトリガーが落ちます。
    4x/9個のトリガーを使って、EXは4x/27回消化できます。
    ここから得られる戦貨は、EXは4x/27*48=64x/9枚≒7.1x枚
    4x/27回のEXを消化することにより、HELLは4x/81回出現します。
    このとき得られる戦貨は4x/81*100=400x/81枚≒4.9x枚となります。

    この辺りで頭がパンクした方も多いと思いますが、もう少し話を続けます。
    HELLが4x/81回出現するということは、8x/81個のトリガーが新たに落ちます。
    これでEXを8x/243回消化することができ、戦貨は48*8x/243枚得られます。
    そのときHELLは8x/729回出現し、800x/729枚の戦貨と、
    16x/729個のトリガーが得られます。


    みなさんの機嫌を窺うまでもなく、自分の頭が沸騰してきましたので、
    一度上記内容を表にしてまとめることにします。

         1回目 2回目 3回目
    EX回数  2x/3 4x/27 8x/243
    EX戦貨     上記*48
    HELL回数 2x/9 4x/81 8x/729
    HELL戦貨    上記*100
    x:VHを回した回数

    戦貨については回数にそれぞれ48や100をかけるだけですので、
    ここからは回数のみを考えます。
    また、HELLの回数はEXの回数を3で割れば容易に出せますので、
    ここで考えるのはEXの回数のみとします。

    EXを3回消化するたびに1回HELLが出現し、
    それを消化して2個のトリガーが出ます。
    このトリガーを3個消費することにより新たに1回EXを消化できます。
    言い方を変えれば、EXを9回消化するとHELLが3回出現し、
    6個のトリガーを獲得し、それを使用して2回EXを消化できます。
    つまり、EXを9回やるごとに、EXを2回追加してできることになります。
    そこで上記の表を見てみると、2回目のEX回数は1回目のそれの2/9倍であり、
    同様に3回目のEX回数も2回目のそれの2/9倍となります。
    上記より、以降のEX回数は

    1回目 2x/3
    2回目 4x/27
    3回目 8x/243
    4回目 16x/2187
    5回目 32x/19683
    ……

    となり、この試行をn回繰り返した場合、
    n回目に消化できるEXの回数は

    2x/3*(2/9)^(n-1)

    となります。


    さて、最初に話しました通り、VHにより得られる戦貨は26x枚でした。
    一方EXとHELLにより得られる戦貨は、これらの1回目からn回目までの戦貨の合計となり、
    その数は


    Σ {2x/3*(2/9)^(n-1)*48+2x/9*(2/9)^(n-1)*100}
    n=1

    となります。

    これは「無限級数」と呼ばれるもので、現行のカリキュラムでは数学IIIで習うものです。
    というわけで、義務教育でもない話が出てきましたので、以降は興味ある方だけ
    読んでもらって、そうでない方は最後辺りまで斜め読みしてもらって大丈夫です。

    以降、話を簡単にするために、一般項の
    2x/3*(2/9)^(n-1)*48+2x/9*(2/9)^(n-1)*100をa_nと表記します。
    また、式を簡単にするために(2/9)^(n-1)で因数分解して、

    a_n=(2/9)^(n-1)*(16x+200x/9)
      =(2/9)^(n-1)*(344x/9)

    とします。a_nは、nを∞にした場合に

    lim (2/9)^(n-1)*(344x/9)=0
    n→∞

    となります。
    これは、先の無限級数が収束することを意味しています。

    ただ、この場合は無限級数は無限級数でも、特別に「無限等比級数」と呼ばれるもので、
    その場合は、この無限等比級数が収束するか否かを判断するためには

    ・初項が0(a=0)
      または
    ・公比が-1を超え1未満(|r|<1)

    上記2点だけを押さえておけば十分です。
    実際今回の場合、初項aは344x/9で、xは自然数なので
    初項は0ではありませんが、
    公比rは2/9で-1を超え1未満なので、無限等比級数は収束します。
    この時、初項がa、公比がrである無限等比級数の和は

    a
    ――
    1-r

    で表せます。
    この時の初項及び公比は既に上で出していますので、

    ∞     344x/9     344x
    Σ a_n= ――――― = ――――
    n=1     1-2/9      7

    となります。

    当初の目的が分からなくなりつつあるので話を戻すと、
    上で求めた等比級数の和は、EXを回すことにより得られる戦貨の枚数です。
    これにVHを回すことで得られる戦貨の枚数26x枚を加え、
    合計が40664枚以上であればいいので、

    26x + 344x/7 ≧ 40664

    という不等式ができます。これを解いて、

    182x + 344x ≧ 284648
    526x ≧ 284648

    以上より、xは542回以上となります。
    このxというのは、VHの周回数ですので、
    VHを回すことにより得られるトリガー数は
    2x=1084個となります。

    というわけで、1084個のトリガーを用意すればいい、という話にはなるのですが、
    実際はここから

    ・デイリーミッションの消化により戦貨が発生する
     (HL救援非MVP28枚*5回*日数=1260枚?)
    ・メダルや貢献度の報酬にも戦貨がある(280+280+200=760枚)

    上記のことから、実際はそこから1割ほど低く見積もり、
    976個程度のトリガーを用意できれば十分なのかなと考えます。


    ここで残念なお知らせがあります。
    ここまで数学の知識を駆使して得られた結論ですが、
    残念ながらこれらが示すのはあくまで目安でしかありません。
    実際には人によってトリガーの落ち方も違ったり、
    HELLの出方も違ったりするため、どこまで走っておけば十分かについては
    誰も話すことができません。
    900超えてれば安全圏なのかなぁとも思いますが、
    VH回しすぎてトリガー余らせるのももったいないので、
    とりあえず800個くらいためておいて、それを消化しながらまた足りなくなった分を
    改めてVHで集めて消化する、というのが一番無駄がないかなと思います。


    というわけで、ストイベ走りに戻ります。
    おわり。


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